Question

12．小明在解決問題：已知a=$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$，求2a²-8a+1的值，他是這樣分析與解的：
∵a=$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$=$\frac{2-\sqrt{3}}{（2+\sqrt{3}）（2-\sqrt{3}）}$=2-$\sqrt{3}$
∴a-2=-$\sqrt{3}$
∴（a-2）²=3，a²-4a+4=3
∴a²-4a=-1
∴2a²-8a+1=2（a²-4a）+1=2×（-1）+1=-1
請(qǐng)你根據(jù)小明的分析過程，解決如下問題：
（1）化簡(jiǎn)$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}}$
（2）若a=$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$求4a²-8a+1的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)例題可得：對(duì)每個(gè)式子的分子和分母中同時(shí)乘以與分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同類二次根式即可求解；
（2）首先化簡(jiǎn)a，然后把所求的式子化成4（a-1）²代入求解即可．

解答 解：（1）原式=（$\sqrt{2}$-1）+（$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）+（$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$）+…+（$\sqrt{100}$-$\sqrt{99}$）=$\sqrt{100}$-1=10-1=9；
（2）a=$\sqrt{2}$+1，
則原式=4（a²-2a+1）-3=4（a-1）²，
當(dāng)a=$\sqrt{2}$+1時(shí)，原式=4×（$\sqrt{2}$）²=8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，正確讀懂例題，對(duì)根式進(jìn)行化簡(jiǎn)是關(guān)鍵．