Question

【題目】如圖，菱形ABCD中，對(duì)角線AC ， BD相交于點(diǎn)O ， 且AC=6cm，BD=8cm，動(dòng)點(diǎn)P ， Q分別從點(diǎn)B ， D同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)速度均為1cm/s，點(diǎn)P沿B→C→D運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)D停止，點(diǎn)Q沿D→O→B運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)O停止1s后繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)B停止，連接AP ， AQ ， PQ ． 設(shè)△APQ的面積為y（cm2）（這里規(guī)定：線段是面積0的幾何圖形），點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s）．
（1）填空：AB=cm，AB與CD之間的距離為cm；
（2）當(dāng)4≤x≤10時(shí)，求y與x之間的函數(shù)解析式；
（3）直接寫(xiě)出在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，使PQ與菱形ABCD一邊平行的所有x的值．

Answer 1

【答案】
（1）5；
（2）解：設(shè)∠CBD=∠CDB=θ，則易得：sinθ= ，cosθ= ．

①當(dāng)4≤x≤5時(shí)，如答圖1﹣1所示，此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合，點(diǎn)P在線段BC上．

∵PB=x，

∴PC=BC﹣PB=5﹣x．

過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AC于點(diǎn)H，則PH=PCcosθ= （5﹣x）．

∴y=S△APQ= QAPH= ×3× （5﹣x）=﹣ x+6；

②當(dāng)5＜x≤9時(shí)，如答圖1﹣2所示，此時(shí)點(diǎn)Q在線段OB上，點(diǎn)P在線段CD上．

PC=x﹣5，PD=CD﹣PC=5﹣（x﹣5）=10﹣x．

過(guò)點(diǎn)P作PH⊥BD于點(diǎn)H，則PH=PDsinθ= （10﹣x）．

∴y=S△APQ=S菱形ABCD﹣S△ABQ﹣S四邊形BCPQ﹣S△APD

=S菱形ABCD﹣S△ABQ﹣（S△BCD﹣S△PQD）﹣S△APD

= ACBD﹣ BQOA﹣（ BDOC﹣ QDPH）﹣ PD×h

= ×6×8﹣ （9﹣x）×3﹣[ ×8×3﹣ （x﹣1） （10﹣x）]﹣ （10﹣x）×

=﹣ x2+ x﹣ ；

③當(dāng)9＜x≤10時(shí)，如答圖1﹣3所示，此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合，點(diǎn)P在線段CD上．

y=S△APQ= AB×h= ×5× =12．

綜上所述，當(dāng)4≤x≤10時(shí)，y與x之間的函數(shù)解析式為：

y=

（3）解：有兩種情況：

①若PQ∥CD，如答圖2﹣1所示．

此時(shí)BP=QD=x，則BQ=8﹣x．

∵PQ∥CD，

∴ ，

即 ，

∴x= ；

②若PQ∥BC，如答圖2﹣2所示．

此時(shí)PD=10﹣x，QD=x﹣1．

∵PQ∥BC，

∴ ，

即 ，

∴x= ．

綜上所述，滿足條件的x的值為 或 ．

【解析】解：（1）∵菱形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm， ∴AC⊥BD，
∴AB= = =5，
設(shè)AB與CD間的距離為h，
∴△ABC的面積S= ABh，
又∵△ABC的面積S= S菱形ABCD= × ACBD= ×6×8=12，
∴ ABh=12，
∴h= = ．
（1）根據(jù)勾股定理即可求得AB，根據(jù)面積公式求得AB與CD之間的距離．（2）當(dāng)4≤x≤10時(shí)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程分為三個(gè)階段，需要分類討論，避免漏解：①當(dāng)4≤x≤5時(shí)，如答圖1﹣1所示，此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合，點(diǎn)P在線段BC上；②當(dāng)5＜x≤9時(shí)，如答圖1﹣2所示，此時(shí)點(diǎn)Q在線段OB上，點(diǎn)P在線段CD上；③當(dāng)9＜x≤10時(shí)，如答圖1﹣3所示，此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合，點(diǎn)P在線段CD上．（3）有兩種情形，需要分類討論，分別計(jì)算：①若PQ∥CD，如答圖2﹣1所示；②若PQ∥BC，如答圖2﹣2所示．