Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y=x2+（k﹣1）x﹣k與直線(xiàn)y=kx+1交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)．

（1）如圖1，當(dāng)k=1時(shí)，直接寫(xiě)出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）在（1）的條件下，點(diǎn)P為拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線(xiàn)AB下方，試求出△ABP面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖2，拋物線(xiàn)y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）與x軸交于點(diǎn)C、D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），是否存在實(shí)數(shù)k使得直線(xiàn)y=kx+1與以O(shè)、C為直徑的圓相切？若存在，請(qǐng)求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣1，0），B（2，3）（2）點(diǎn)P坐標(biāo)為（，﹣）（3）k=時(shí)，使得直線(xiàn)y=kx+1與以O(shè)、C為直徑的圓相切

【解析】試題分析：（1）當(dāng)k=1時(shí)，聯(lián)立拋物線(xiàn)與直線(xiàn)的解析式，解方程求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）如圖2，作輔助線(xiàn)，求出△ABP面積的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值及點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)以OC為直徑的圓與直線(xiàn)AB相切于點(diǎn)Q，由圓周角定理可知，此時(shí)以此為基礎(chǔ)，構(gòu)造相似三角形，利用比例式列出方程，求得k的值．

試題解析：(1)當(dāng)k=1時(shí),拋物線(xiàn)解析式為 直線(xiàn)解析式為y=x+1.

聯(lián)立兩個(gè)解析式 得：

解得：x=1或x=2，

當(dāng)x=1時(shí)，y=x+1=0；當(dāng)x=2時(shí)，y=x+1=3，

∴A(1,0),B(2,3).

(2)設(shè)

如答圖2所示,過(guò)點(diǎn)P作PF∥y軸,交直線(xiàn)AB于點(diǎn)F,則F(x,x+1).

∴

∴

當(dāng)時(shí),

∴△ABP面積最大值為,此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為

(3)設(shè)直線(xiàn)AB:y=kx+1與x軸、y軸分別交于點(diǎn)E.F，

則

在Rt△EOF中,由勾股定理得：

令 即(x+k)(x1)=0，解得：x=k或x=1.

∴C(k,0)，OC=k.

設(shè)以OC為直徑的圓與直線(xiàn)AB相切于點(diǎn)Q,根據(jù)圓周角定理,此時(shí) 如圖3所示，

設(shè)點(diǎn)N為OC中點(diǎn),連接NQ,則NQ⊥EF,

∴

∵

∴△EQN∽△EOF，

∴ 即：

解得：

∵k>0，

∴

即存在實(shí)數(shù)k使得直線(xiàn)與以O、C為直徑的圓相切.