Question

（2012•錦江區(qū)一模）如圖，在矩形ABCD中，AD=4，AB=m（m＞4），點(diǎn)P是AB邊上的任意一點(diǎn)（不與A、B重合），連接PD，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥PD，交直線BC于點(diǎn)Q．當(dāng)m=10時(shí)，是否存在點(diǎn)P使得點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合？若存在，求出此時(shí)AP的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：首先假設(shè)當(dāng)m=10時(shí)，存在點(diǎn)P使得點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合，易證得△PBC∽△DAP，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得此時(shí)AP的長(zhǎng)．

解答：解：假設(shè)當(dāng)m=10時(shí)，存在點(diǎn)P使得點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合（如下圖），
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=∠A=90°，
∵PQ⊥PD，
∴∠DPC=90°，
∴∠APD+∠BPC=90°，
又∵∠ADP+∠APD=90°，
∴∠BPC=∠ADP，
∴△PBC∽△DAP，
∴

PB

DA

=

BC

AP

，
∴

10-AP

4

=

4

AP

，
∴AP=2或8，
∴存在點(diǎn)P使得點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合，此時(shí)AP的長(zhǎng)2或8．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)與矩形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．