Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AO=10，AB=8，分別以O(shè)C、OA所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)D（3，10）、E（0，6），拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過O，D，C三點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；
（2）一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)，沿EC以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CO以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，以P、Q、C為頂點(diǎn)的三角形與△ADE相似？
（3）點(diǎn)N在拋物線對(duì)稱軸上，點(diǎn)M在拋物線上，是否存在這樣的點(diǎn)M與點(diǎn)N，使四邊形MENC是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M與點(diǎn)N的坐標(biāo)（不寫求解過程）；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵四邊形ABCO為矩形，

∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10．

∴C（8，0），

∵拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)D（3，10），C（8，0），O（0，0），

∴ ，解得 ，

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x

（2）

解：∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，

∴∠DEA=∠OCE，

由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5．

而CQ=t，EP=2t，

∴PC=10﹣2t．

當(dāng)∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC，

∴ = ，即 = ，解得t= ．

當(dāng)∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC，

∴ = ，即 = ，解得t= ．

∴當(dāng)t的 或 時(shí)，以P、Q、C為頂點(diǎn)的三角形與△ADE相似

（3）

解：存在符合條件的M、N點(diǎn)，

EC為平行四邊形的對(duì)角線，由于拋物線的對(duì)稱軸經(jīng)過EC中點(diǎn)，

若四邊形MENC是平行四邊形，那么M點(diǎn)必為拋物線頂點(diǎn)；

則M（4， ）；

而平行四邊形的對(duì)角線互相平分，那么線段MN必被EC中點(diǎn)（4，3）平分，

則N（4，﹣ ）；

∴存在符合條件的M、N點(diǎn)，且它們的坐標(biāo)為M（4， ），N（4，﹣ ）

【解析】（1）由矩形的性質(zhì)可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式；（2）用t可分別表示出CQ、PC的長(zhǎng)，當(dāng)∠PQC=∠DAE=90°，有△ADE∽△QPC；當(dāng)∠QPC=∠DAE=90°，有△ADE∽△PQC，利用相似三角形的性質(zhì)可分別得到關(guān)于t的方程，可求得t的值；（3）由題意可知CE為平行四邊形的對(duì)角線，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知當(dāng)M為拋物線頂點(diǎn)時(shí)滿足條件，再由平行四邊形的性質(zhì)可知線段MN被線段EC平分，可求得N點(diǎn)坐標(biāo)．