Question

已知二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象經(jīng)過A（-1，0）和B（3，0）兩點，且交y軸于點C．
（1）求b、c的值；
（2）請你在圖10中畫出這條拋物線的大致圖象；
（3）若點D在此拋物線的對稱軸上，且到A、C兩點的距離之和最短，求點D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象經(jīng)過A（-1，0）和B（3，0）兩點，利用待定系數(shù)法即可求得b、c的值；
（2）由（1）可得此二次函數(shù)的解析式為：y=x²-2x-3，然后即可求得函數(shù)的頂點坐標(biāo)，即可畫出圖象；
（3）由點A關(guān)于對稱軸x=1的對稱點是點B，連接BC交對稱軸于點D，則可得點D即為所求，然后設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，利用待定系數(shù)法即可求得直線BC的解析式，則可求得點D的坐標(biāo)．

解答：解：（1）把A（-1，0）和B（3，0）代入y=x²+bx+c得：

(-1)2-b+c=0 32+3b+c=0.

解得

b=-2 c=-3

，
所以b=-2，c=-3．（3分）

（2）由（1）可得：此二次函數(shù)的解析式為：y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴頂點坐標(biāo)為（1，-4），C（0，-3），
∴圖象如圖所示；（5分）

（3）點A關(guān)于對稱軸x=1的對稱點是點B，連接BC交對稱軸于點D，則點D即為所求，
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
把B（3，0）、C（0，-3）代入解析式得

3k+b=0 b=-3

，
解得：

k=1 b=-3

，
∴直線BC的解析式為：y=x-3，（7分）
∴當(dāng)x=1時，y-2，
∴D點的坐標(biāo)為（1，-2）．（9分）

點評：此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象的畫法以及距離之和最短問題．此題綜合性較強，難度適中，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．注意解決距離之和最短問題是找到所要求的點的位置．