Question

【題目】如圖1，已知O是坐標原點，點A的坐標是（5，0），點B是y軸正半軸上一動點，以OB，OA為邊作矩形OBCA，點E，H分別在邊BC和邊OA上，將△BOE沿著OE對折，使點B落在OC上的F點處，將△ACH沿著CH對折，是點A落在OC上的G點處。

（1）求證：四邊形OECH是平行四邊形；

（2）如圖2，當點B運動到使得點F，G重合時，判斷四邊形OECH的形狀并說明理由；

（3）當點B運動到使得點F，G將對角線OC三等分時，求點B的坐標。

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）點B的坐標是（0， ）；四邊形OECH是菱形．理由見解析；（3）（0， ）或（0，2）．

【解析】試題分析：（1）如圖1，根據(jù)矩形的性質得OB∥CA，BC∥OA，再利用平行線的性質得∠BOC=∠OCA，然后根據(jù)折疊的性質得到∠BOC=2∠EOC，∠OCA=2∠OCH，所以∠EOC=∠OCH，根據(jù)平行線的判定定理得OE∥CH，加上BC∥OA，于是可根據(jù)平行四邊形的判定方法得四邊形OECH是平行四邊形；

（2）如圖2，先根據(jù)折疊的性質得∠EFO=∠EBO=90°，∠CFH=∠CAF=90°，由點F，G重合得到EH⊥OC，根據(jù)菱形的判定方法得到平行四邊形OECH是菱形，則EO=EC，所以∠EOC=∠ECO，而∠EOC=∠BOE，根據(jù)三角形內角和定理可計算出∠EOB=∠EOC=∠ECO=30°，在Rt△OBC中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關系得OB=BC=，于是得到點B的坐標是（0， ）；

（3）分類討論：當點F在點O，G之間時，如圖3，根據(jù)折疊的性質得OF=OB，CG=CA，則OF=CG，所以AC=OF=FG=GC，設AC=m，則OC=3m，在Rt△OAC中，根據(jù)勾股定理得m2+52=（3m）2，解得m=，則點B的坐標是（0， ）；當點G在O，F之間時，如圖4，同理可得OF=CG=AC，設OG=n，則AC=GC=2n，在Rt△OAC中，根據(jù)勾股定理得（2n）2+52=（3n）2，解得n=，則AC=OB=2，所以點B的坐標是（0，2）．

試題解析：（1）證明：如圖1，

∵四邊形OBCA為矩形，

∴OB∥CA，BC∥OA，

∴∠BOC=∠OCA，

又∵△BOE沿著OE對折，使點B落在OC上的F點處；△ACH沿著CH對折，使點A落在OC上的G點處，

∴∠BOC=2∠EOC，∠OCA=2∠OCH，

∴∠EOC=∠OCH，

∴OE∥CH，

又∵BC∥OA，

∴四邊形OECH是平行四邊形；

（2）解：點B的坐標是（0， ）；四邊形OECH是菱形．理由如下：如圖2，

∵△BOE沿著OE對折，使點B落在OC上的F點處；△ACH沿著CH對折，使點A落在OC上的G點處，

∴∠EFO=∠EBO=90°，∠CFH=∠CAF=90°，

∵點F，G重合，

∴EH⊥OC，

又∵四邊形OECH是平行四邊形，

∴平行四邊形OECH是菱形，

∴EO=EC，

∴∠EOC=∠ECO，

又∵∠EOC=∠BOE，

∴∠EOB=∠EOC=∠ECO=30°，

又∵點A的坐標是（5，0），

∴OA=5，

∴BC=5，

在Rt△OBC中，OB=BC=，

∴點B的坐標是（0， ）；

（3）解：當點F在點O，G之間時，如圖3，

∵△BOE沿著OE對折，使點B落在OC上的F點處；△ACH沿著CH對折，使點A落在OC上的G點處，

∴OF=OB，CG=CA，

而OB=CA，

∴OF=CG，

∵點F，G將對角線OC三等分，

∴AC=OF=FG=GC，

設AC=m，則OC=3m，

在Rt△OAC中，OA=5，

∵AC2+OA2=OC2，

∴m2+52=（3m）2，解得m=，

∴OB=AC=，

∴點B的坐標是（0， ）；

當點G在O，F之間時，如圖4，

同理可得OF=CG=AC，

設OG=n，則AC=GC=2n，

在Rt△OAC中，OA=5，

∵AC2+OA2=OC2，

∴（2n）2+52=（3n）2，解得n=，

∴AC=OB=2，

∴點B的坐標是（0，2）．