【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(﹣3,0),B(0,3),C(1,0).
(1)求此拋物線的解析式.
(2)點(diǎn)P是直線AB上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn),(不與點(diǎn)A、B重合),過點(diǎn)P作x軸的垂線,垂足為F,交直線AB于點(diǎn)E,作PD⊥AB于點(diǎn)D.
①動(dòng)點(diǎn)P在什么位置時(shí),△PDE的周長最大,求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo);
②連接PA,以AP為邊作圖示一側(cè)的正方形APMN,隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng),正方形的大小、位置也隨之改變.
當(dāng)頂點(diǎn)M或N恰好落在拋物線對(duì)稱軸上時(shí),求出對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)的坐標(biāo).(結(jié)果保留根號(hào))
【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)①點(diǎn)P(,)時(shí),△PDE的周長最大;②當(dāng)頂點(diǎn)M恰好落在拋物線對(duì)稱軸上時(shí),點(diǎn)P坐標(biāo)為(,),當(dāng)頂點(diǎn)N恰好落在拋物線對(duì)稱軸上時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣﹣1,2).
【解析】
試題分析:(1)把點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入拋物線解析式,利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解 答即可; (2)①根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)求出OA=OB,從而得到△AOB是等腰直角三角形,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠BAO=45°,然后求出△PED是等腰直角三角形,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì),PD越大,△PDE的周長最大,再判斷出當(dāng)與直線AB平行的直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),PD最大,再求出直線AB的解析式為y=x+3,設(shè)與AB平行的直線解析式為y=x+m,與拋物線解析式聯(lián)立消掉y,得到關(guān)于x的一元二次方程,利用根的判別式△=0列式求出m的值,再求出x、y的值,從而得到點(diǎn)P的坐標(biāo); ②先確定出拋物線的對(duì)稱軸,然后(i)分點(diǎn)M在對(duì)稱軸上時(shí),過點(diǎn)P作PQ⊥對(duì)稱軸于Q,根據(jù)同角的余角相等求出∠APF=∠QPM,再利用“角角邊”證明△APF和△MPQ全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得PF=PQ,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為n,表示出PQ的長,即PF,然后代入拋物線解析式計(jì)算即可得解;(ii)點(diǎn)N在對(duì)稱軸上時(shí),同理求出△APF和△ANQ全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得PF=AQ,根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo),再代入拋物線解析式求出橫坐標(biāo),即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo).
試題解析:(1)∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(﹣3,0),B(0,3),C(1,0),
∴,
解得,
所以,拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3;
(2)①∵A(﹣3,0),B(0,3),
∴OA=OB=3,
∴△AOB是等腰直角三角形,
∴∠BAO=45°,
∵PF⊥x軸,
∴∠AEF=90°﹣45°=45°,
又∵PD⊥AB,
∴△PDE是等腰直角三角形,
∴PD越大,△PDE的周長越大,
易得直線AB的解析式為y=x+3,
設(shè)與AB平行的直線解析式為y=x+m,
聯(lián)立,
消掉y得,x2+3x+m﹣3=0,
當(dāng)△=32﹣4×1×(m﹣3)=0,
即m=時(shí),直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn),PD最長,
此時(shí)x=,y=+=,
∴點(diǎn)P(,)時(shí),△PDE的周長最大;
②拋物線y=﹣x2﹣2x+3的對(duì)稱軸為直線x=,
(i)如圖1,點(diǎn)M在對(duì)稱軸上時(shí),過點(diǎn)P作PQ⊥對(duì)稱軸于Q,
在正方形APMN中,AP=PM,∠APM=90°,
∴∠APF+∠FPM=90°,∠QPM+∠FPM=90°,
∴∠APF=∠QPM,
∵在△APF和△MPQ中,
,
∴△APF≌△MPQ(AAS),
∴PF=PQ,
設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為n(n<0),則PQ=﹣1﹣n,
即PF=﹣1﹣n,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(n,﹣1﹣n),
∵點(diǎn)P在拋物線y=﹣x2﹣2x+3上,
∴﹣n2﹣2n+3=﹣1﹣n,
整理得,n2+n﹣4=0,
解得n1=(舍去),n2=,
﹣1﹣n=﹣1﹣=,
所以,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,);
(ii)如圖2,點(diǎn)N在對(duì)稱軸上時(shí),設(shè)拋物線對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)Q,
∵∠PAF+∠FPA=90°,∠PAF+∠QAN=90°,
∴∠FPA=∠QAN,
又∵∠PFA=∠AQN=90°,PA=AN,
∴△APF≌△NAQ,
∴PF=AQ,
設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為P(x,﹣x2﹣2x+3),
則有﹣x2﹣2x+3=﹣1﹣(﹣3)=2,
解得x=﹣1(不合題意,舍去)或x=﹣﹣1,
此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為(﹣﹣1,2).
綜上所述,當(dāng)頂點(diǎn)M恰好落在拋物線對(duì)稱軸上時(shí),點(diǎn)P坐標(biāo)為(,),當(dāng)頂點(diǎn)N恰好落在拋物線對(duì)稱軸上時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣﹣1,2).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】把下列一元二次方程化成一般式,并寫出方程中的各項(xiàng)及各項(xiàng)的系數(shù).
(1);
一般式:_________________.
二次項(xiàng)為____,二次項(xiàng)系數(shù)為____,一次項(xiàng)為____,
一次項(xiàng)系數(shù)為____,常數(shù)項(xiàng)為____.
(2);
一般式:_________________.
二次項(xiàng)為____,二次項(xiàng)系數(shù)為____,一次項(xiàng)為____,
一次項(xiàng)系數(shù)為____,常數(shù)項(xiàng)為____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,BC2,∠BAC30°,斜邊AB的兩個(gè)端點(diǎn)分別在相互垂直的射線OM,ON上滑動(dòng),下列結(jié)論: ①若C,O兩點(diǎn)關(guān)于AB對(duì)稱,則OA;②C,O兩點(diǎn)距離的最大值為4;③若AB平分CO,則AB⊥CO;④斜邊AB的中點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路徑的長為.
其中正確的是( )
A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ①②④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有依次排列的3個(gè)數(shù):6,2,8,先將任意相鄰的兩個(gè)數(shù),都用右邊減去左邊的數(shù),所得之差寫在這兩個(gè)數(shù)之間,可產(chǎn)生一個(gè)新的數(shù)串:6,-4,2,6,8這稱為第一次操作;做第二次同樣操作后也可產(chǎn)生一個(gè)新數(shù)串:6,-10,-4,6,2,4,6,2,8,繼續(xù)依次操作下去,問:從數(shù)串中6,2,8開始操作第2019次后所產(chǎn)生的那個(gè)新數(shù)串的所有數(shù)之和是( )
A.4054B.4056C.4058D.4060
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,點(diǎn)在線段上,圖中共有三條線段,和,若其中有一條線段的長度是另外一條線段長度的2倍,則稱點(diǎn)是線段的“巧點(diǎn)”.
(1)線段的中點(diǎn)_________這條線段的“巧點(diǎn)”;(填“是”或“不是”);
(2)如圖2,已知.動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),以的速度沿向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng);點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),以的速度沿向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng),點(diǎn),同時(shí)出發(fā),當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),運(yùn)動(dòng)停止.設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為,當(dāng)_________時(shí),為的“巧點(diǎn)”.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一船在燈塔的正東方向海里的處,以20海里/時(shí)的速度沿北偏西方向航行。
(1)多長時(shí)間后,船距燈塔最近?
(2)多長時(shí)間后,船到燈塔的正北方向?此時(shí)船距燈塔有多遠(yuǎn)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)如圖(),將兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)疊放在一起
①若,則__________;若,則___________.
②猜想與的度數(shù)有何特殊關(guān)系,并說明理由.
(2)如圖(),兩個(gè)同樣的三角尺銳角的頂點(diǎn)重合在一起,則與的度數(shù)有何關(guān)系?請(qǐng)說明理由.
(3)如圖(),已知,作(,都是銳角且),若在的內(nèi)部,請(qǐng)直接寫出與的度數(shù)關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小王上周買進(jìn)某種股票1000股,每股27元。
(1)星期三收盤時(shí),每股是多少元?
(2)本周內(nèi)最高價(jià)是每股多少元?最低價(jià)是每股多少元?
(3)若小王在本周五的收盤價(jià)將股票全部賣出,你認(rèn)為他會(huì)獲利嗎?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△BAD是由△BEC在平面內(nèi)繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)60°而得,且AB⊥BC,BE=CE,連接DE.
(1)求證:△BDE≌△BCE;
(2)試判斷四邊形ABED的形狀,并說明理由.
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