Question

（2011•河東區(qū)二模）如圖，按照下面步驟折疊三角形紙片ABC：先過點A沿AF折疊，使點B、C仍落在邊BC上；然后打開再沿DE對折，使點A與點F重合．有下面四個結論：
①DE=

1

2

BC；②△BDF是等腰三角形；③四邊形ADFE是菱形；④∠BDF+∠FEC=2∠A．
其中一定正確的有

①②④

（寫上所有正確結論的序號）

Answer 1

分析：利用折疊的性質(zhì)，易證DE∥BC，進而得出△BDF是等腰三角形，繼而可證得DE是△ABC的中位線，由三角形的內(nèi)角和定理，可求得∠BDF+∠CEF=2∠A．

解答：證明：∵先過點A沿AF折疊，使點B、C仍落在邊BC上；
∴AF⊥BC，DE∥BC，
∵再沿DE對折，使點A與點F重合，
∴DE平分AF，
∴DE是△ABC的中位線，
∴DE=

1

2

BC，
∴①DE=

1

2

BC正確；

∵DE是△ABC的中位線，
∴AD=BD，
∵AD=DF，
∴BD=DF，
∴△BDF是等腰三角形，
故②△BDF是等腰三角形正確；

∵AD=DF，AE=EF，
但是AD不一定等于AE，
∴不能證得四邊形ADFE是菱形，
故③四邊形ADFE是菱形錯誤；

∵由以上可得出：BD=DF，EF=EC，
∴∠B=∠BFD，∠C=∠CFE，
又∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∠B+∠BFD+∠BDF=180°，∠C+∠CFE+∠CEF=180°，
∴∠BDF+∠FEC=2∠A，
故④∠BDF+∠FEC=2∠A正確．
綜上所述：①②④正確．
故答案為：①②④．

點評：此題考查了折疊的性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理．此題難度適中，注意掌握折疊中的對應關系，注意數(shù)形結合思想的應用．