如圖一,AB是⊙O的直徑,AC是弦,直線EF和⊙O相切于點(diǎn)C,AD⊥EF,垂足為D.
(1)求證:∠CAD=∠BAC;
(2)如圖二,若把直線EF向上移動(dòng),使得EF與⊙O相交于G,C兩點(diǎn)(點(diǎn)C在點(diǎn)G的右側(cè)),連接AC,AG,若題中其他條件不變,這時(shí)圖中是否存在與∠CAD相等的角?若存在,找出一個(gè)這樣的角,并證明;若不存在,說(shuō)明理由.

【答案】分析:(1)連接OC,根據(jù)切線的性質(zhì)定理以及等角的余角相等即可證明;
(2)構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角,根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等以及等角的余角相等,發(fā)現(xiàn)∠BAC=∠GAD,再根據(jù)等式的性質(zhì)即可證明∠BAG=∠DAC.
解答:(1)證明:如圖一,連接OC,則OC⊥EF,且OC=OA,
易得∠OCA=∠OAC.
∵AD⊥EF,
∴OC∥AD.
∴∠OCA=∠CAD,
∴∠CAD=∠OAC.
即∠CAD=∠BAC.


(2)解:與∠CAD相等的角是∠BAG.
證明如下:
如圖二,連接BG.
∵四邊形ACGB是⊙O的內(nèi)接四邊形,
∴∠ABG+∠ACG=180°.
∵D,C,G共線,
∴∠ACD+∠ACG=180°.
∴∠ACD=∠ABG.
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠BAG+∠ABG=90°
∵AD⊥EF
∴∠CAD+∠ACD=90°
∴∠CAD=∠BAG.
點(diǎn)評(píng):此題運(yùn)用了切線的性質(zhì)定理、圓周角定理的推論.注意根據(jù)等角的余角相等是證明角相等的一種常用方法.
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22、如圖一,AB是⊙O的直徑,AC是弦,直線EF和⊙O相切與點(diǎn)C,AD⊥EF,垂足為D.
(1)求證∠CAD=∠BAC;
(2)如圖二,若把直線EF向上移動(dòng),使得EF與⊙O相交于G,C兩點(diǎn)(點(diǎn)C在點(diǎn)G的右側(cè)),連接AC,AG,若題中其他條件不變,這時(shí)圖中是否存在與∠CAD相等的角?若存在,找出一個(gè)這樣的角,并證明;若不存在,說(shuō)明理由.

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