Question

【題目】如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，且AD=12cm，AB=8cm，DC=10cm，若動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒2cm的速度沿線(xiàn)段AD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)以每秒3cm的速度沿CB向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)D點(diǎn)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，并運(yùn)動(dòng)了t秒，回答下列問(wèn)題：

（1）BC= cm；

（2）當(dāng)t為多少時(shí)，四邊形PQCD成為平行四邊形？

（3）當(dāng)t為多少時(shí)，四邊形PQCD為等腰梯形？

（4）是否存在t，使得△DQC是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）18；（2）當(dāng)t=秒時(shí)四邊形PQCD為平行四邊形；（3）當(dāng)t=時(shí)，四邊形PQCD為等腰梯形；（4）存在t， t的值為秒或4秒或秒．

【解析】試題分析：（1）作DE⊥BC于E，則四邊形ABED為矩形．在直角△CDE中，已知DC、DE的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理可以計(jì)算EC的長(zhǎng)度，根據(jù)BC=BE+EC即可求出BC的長(zhǎng)度；

（2）由于PD∥QC，所以當(dāng)PD=QC時(shí)，四邊形PQCD為平行四邊形，根據(jù)PD=QC列出關(guān)于t的方程，解方程即可；

（3）首先過(guò)D作DE⊥BC于E，可求得EC的長(zhǎng)，又由當(dāng)PQ=CD時(shí)，四邊形PQCD為等腰梯形，可求得當(dāng)QC-PD=QC-EF=QF+EC=2CE，即3t-（12-2t）=12時(shí)，四邊形PQCD為等腰梯形，解此方程即可求得答案；

（4）因?yàn)槿�邊中，每�(jī)蓷l邊都有相等的可能，所以應(yīng)考慮三種情況．結(jié)合路程=速度×時(shí)間求得其中的有關(guān)的邊，運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形的知識(shí)求解．

試題解析：根據(jù)題意得：PA=2t，CQ=3t，則PD=AD-PA=12-2t．

（1）如圖，過(guò)D點(diǎn)作DE⊥BC于E，則四邊形ABED為矩形，

DE=AB=8cm，AD=BE=12cm，

在直角△CDE中，∵∠CED=90°，DC=10cm，DE=8cm，

∴EC==6cm，

∴BC=BE+EC=18cm．

（2）∵AD∥BC，即PD∥CQ，

∴當(dāng)PD=CQ時(shí)，四邊形PQCD為平行四邊形，

即12-2t=3t，

解得t=秒，

故當(dāng)t=秒時(shí)四邊形PQCD為平行四邊形；

（3）如圖，過(guò)D點(diǎn)作DE⊥BC于E，則四邊形ABED為矩形，DE=AB=8cm，AD=BE=12cm，

當(dāng)PQ=CD時(shí)，四邊形PQCD為等腰梯形．

過(guò)點(diǎn)P作PF⊥BC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，則四邊形PDEF是矩形，EF=PD=12-2t，PF=DE．

在Rt△PQF和Rt△CDE中，

，

∴Rt△PQF≌Rt△CDE（HL），

∴QF=CE，

∴QC-PD=QC-EF=QF+EC=2CE，

即3t-（12-2t）=12，

解得：t=，

即當(dāng)t=時(shí)，四邊形PQCD為等腰梯形；

（4）△DQC是等腰三角形時(shí)，分三種情況討論：

①當(dāng)QC=DC時(shí)，即3t=10，

∴t=；

②當(dāng)DQ=DC時(shí)，

∴t=4；

③當(dāng)QD=QC時(shí)，3t×

∴t=．

故存在t，使得△DQC是等腰三角形，此時(shí)t的值為秒或4秒或秒．