Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過點(diǎn)，與軸，軸分別交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，

（1）求的值和直線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）連結(jié)，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的值；

（3）若，點(diǎn)，分別在線段，線段上，當(dāng)是等腰直角三角形且時(shí)，則的面積是______.

Answer 1

【答案】（1），直線AD的表達(dá)式為：（2）t的值為或或；（3）的面積是或．

【解析】

（1）將A點(diǎn)代入即可求得m的值， 根據(jù)D點(diǎn)設(shè)直線AD的一般式，將A點(diǎn)代入求得k的值即可；

（2）分以BC為底和以BC為腰（其中BC為腰又分為以B點(diǎn)為頂點(diǎn)和以C點(diǎn)為頂點(diǎn)分別討論）兩種情況討論，畫出相應(yīng)的圖形，根據(jù)圖形分析即可得出t的值；

（3）分以M為直角頂點(diǎn)和以N為直角頂點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形，進(jìn)行分析即可求出的面積．

解：（1）將代入中的得，解得，

因?yàn)?/span>，所以設(shè)直線AD的解析式為：，

將代入得，解得，所以；

（2）如下圖，

由直線可知,

當(dāng)y=0時(shí)，，解得x=-8，所以,

①當(dāng)?shù)妊?/span>以BC為底時(shí)，P點(diǎn)在BC的垂直平分線與x軸交點(diǎn)處，

則此時(shí)，

即，解得；

②當(dāng)?shù)妊?/span>以BC為腰時(shí)，若B點(diǎn)為頂點(diǎn)，則以B點(diǎn)為圓心，BC為半徑畫弧，在B點(diǎn)右側(cè)（因?yàn)?/span>）與x軸相交于，

∵,

∴，

若C點(diǎn)為頂點(diǎn)，則以C點(diǎn)為圓心，BC為半徑畫弧，與x正半軸交于處，

∴，即，

綜上所述t的值為或或．

（3）①當(dāng)是以M為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，如下圖，

分別過P點(diǎn)和N點(diǎn)作x軸垂線與過M點(diǎn)作y軸的垂線相交于E，F,

則∵EP垂直x軸，FN垂直x軸，EF垂直y軸

∴∠PEF=∠EFN=90°，

∴∠EPM+∠EMP=90°，

∵∠PMN=90°，

∴∠FMN+∠EMP=90°，

∴∠EPM=∠FMN，

又∵PM=MN，

∴△PEM≌△MFN

∴設(shè)MF=EP=m，NF=ME=n，

∵P(-4,0),

∴，

分別將M和N代入和中

解得，

∴，;

當(dāng)是以N為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，如下圖，

分別過P點(diǎn)和M點(diǎn)作x軸垂線與過N點(diǎn)作y軸的垂線相交于G，H,

與本小題①同理可證△NPG≌△MNH

設(shè)，

則

分別將M和N代入和中，

，解得

所以，

故的面積是或．