Question

（2012•長(zhǎng)沙）如圖，A，P，B，C是半徑為8的⊙O上的四點(diǎn)，且滿足∠BAC=∠APC=60°，
（1）求證：△ABC是等邊三角形；
（2）求圓心O到BC的距離OD．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)圓周角定理得出∠ABC的度數(shù)，再直接根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行解答即可；
（2）連接OB，由等邊三角形的性質(zhì)可知，∠OBD=30°，根據(jù)OB=8利用直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答：（1）證明：在△ABC中，
∵∠BAC=∠APC=60°，
又∵∠APC=∠ABC，
∴∠ABC=60°，
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-60°-60°=60°，
∴△ABC是等邊三角形；

（2）解：連接OB，
∵△ABC為等邊三角形，⊙O為其外接圓，
∴O為△ABC的外心，
∴BO平分∠ABC，
∴∠OBD=30°，
∴OD=8×

1

2

=4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理、等邊三角形的判定，垂徑定理，解直角三角形等知識(shí)，將各知識(shí)點(diǎn)有機(jī)結(jié)合，旨在考查同學(xué)們的綜合應(yīng)用能力．