Question

【題目】如圖（1），在矩形DEFG中，DE=3，EG=6，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=3，AC=6，△ABC的一邊BC和矩形的一邊DG在同一直線上，點C和點D重合，Rt△ABC將從D以每秒1個單位的速度向DG方向勻速平移，當點C與點G重合時停止運動，設運動時間為t秒，解答下列問題：

（1）如圖（2），當AC過點E時，求t的值；

（2）如圖（3），當AB與DE重合時，AC與EF、EG分別交于點M、N，求CN的長；

（3）在整個運動過程中，設Rt△ABC與△EFG重疊部分面積為y，請求出y與t的函數(shù)關系式，并寫出相應t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】分析：（1）當AC過點E時，△ABC∽△EDC，然后根據(jù)相似三角形的對應邊成比例列比例方程可求出CD的值；

（2）由勾股定理求得DG=3，由sin∠EGD=可求得∠EGD=30°，進而可求∠CNG=30°，根據(jù)等角對等邊可知NC=CG，從而結論可求；

（3）由（1）可知，當x＞時，△ABC與△EFG有重疊部分．分①當＜t≤3時，y=S△EMN，②當3＜t≤3時，y=S△EMN﹣S△EPQ，兩種情況求解.

詳解：（1）如圖（2），當AC過點E時，

在Rt△ABC中，BC=3，AC=6，

∴BC所對銳角∠A=30°，

∴∠ACB=60°，

依題意可知∠ABC=∠EDC=90°，

∵∠ACB=∠ECD，

∴△ABC∽△EDC，

∴，即，

∴CD=，

∴t=CD= ；

（2）如圖（3），∵∠EDG=90°，DE=3，EG=6，

∴DG===3，

在Rt△EDG中，sin∠EGD===，

∴∠EGD=30°，

∵∠NCB=∠CNG+∠EGD，

∴∠CNG=∠NCB﹣∠EGD=60°﹣30°=30°，

∴∠CNG=∠EGD，

∴NC=CG=DG﹣BC=3﹣3；

（3）由（1）可知，當x＞時，△ABC與△EFG有重疊部分．

分兩種情況：

①當＜t≤3時，如圖（4），△ABC與△EFG有重疊部分為△EMN，設AC與EF、EG分別交于點M、N，過點N作直線NP⊥EF于P，交DG于Q，

則∠EPN=∠CQN=90°，

∵NC=CG，

∴NC=DG﹣DC=3﹣t，

在Rt△NQC中，NQ=sin∠NCQ×NC=sin60°×（3﹣t）=，

∴PN=PQ﹣NQ=3﹣=，

∵∠PMN=∠NCQ=60°，

∴sin∠PMN=，MN==×=t﹣，

在矩形DEFG中，EF∥DG，

∴∠MEN=∠CGN，

∵∠MNE=∠CNG，∠CNG=∠CGN，

∴∠EMN=∠MNE，

∴EM=MN，

∴EM=MN=t﹣，

∴y=S△EMN=EMPN=××=﹣；

②當3＜t≤3時，如圖（5），△ABC與△EFG重疊部分為四邊形PQNM，設AB與EF、EG分別交于點P、Q，AC與EF、EG分別交于點M、N，則∠EPQ=90°，

∵CG=3﹣t，

∴S△EMN=﹣t+，

∵EP=DB=t﹣3，∠PEQ=30°，

∴在Rt△EPQ中，PQ=tan∠PEQ×EP=tan30°×（t﹣3）=，

∴S△EPQ=EPPQ=（t﹣3）×=，

∴y=S△EMN﹣S△EPQ=（﹣t+）﹣（）=+（﹣）t﹣，

綜上所述，y與t的函數(shù)關系式：y=．