Question

【題目】已知：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2）是某函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)（x1＜x2），將函數(shù)圖象中x＜x1的部分沿直線y＝y1作軸對稱，x＞x2的部分沿直線y＝y2作軸對稱，與原函數(shù)圖象中x1≤x≤x2的部分組成了一個新函數(shù)的圖象，稱這個新函數(shù)為原函數(shù)關(guān)于點(diǎn)A、B的“雙對稱函數(shù)”．例如：如圖①，點(diǎn)A（﹣2，﹣1）、B（1，2）是一次函數(shù)y＝x+1圖象上的兩個點(diǎn)，則函數(shù)y＝x+1關(guān)于點(diǎn)A、B的“雙對稱函數(shù)”的圖象如圖②所示．

（1）點(diǎn)A（t，y1）、B（t+3，y2）是函數(shù)y＝圖象上的兩點(diǎn)，y＝關(guān)于點(diǎn)A、B的“雙對稱函數(shù)”的圖象記作G，若G是中心對稱圖形，直接寫出t的值．

（2）點(diǎn)P（，y1），Q（+t，y2）是二次函數(shù)y＝（x﹣t）2+2t圖象上的兩點(diǎn)，該二次函數(shù)關(guān)于點(diǎn)P、Q的“雙對稱函數(shù)”記作f．

①求P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)（用含t的代數(shù)式表示）．

②當(dāng)t＝﹣2時，求出函數(shù)f的解析式；

③若﹣1≤x≤1時，函數(shù)f的最小值為ymin，求﹣2≤ymin≤﹣1時，t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）t＝；（2）①P（，t2+t+），Q（+t，2t+）；②y＝；③﹣≤t≤或≤t≤

【解析】

（1）根據(jù)定義、反比例函數(shù)圖象性質(zhì)和中心對稱性質(zhì)即可求出t；
（2）①直接代入計(jì)算即可；②新函數(shù)是分段函數(shù)，自變量x的范圍分為x＜或≤x≤或x＞，二次函數(shù)圖象翻折后開口方向與原來相反，頂點(diǎn)與原來頂點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，可以先求新頂點(diǎn)；③分t≤-1，-1＜t＜0，t≥0進(jìn)行討論．

解：（1）如圖1，

設(shè)點(diǎn)A（t，），A′（t+3，），

∵G是中心對稱圖形，由反比例函數(shù)圖象的中心對稱性質(zhì)可知：A與A′關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，

∴t+t+3＝0，解得：t＝；

（2）①y1＝+2t＝t2+t+，y2＝+2t＝2t+

∴P（，t2+t+），Q（+t，2t+），

②當(dāng)t＝﹣2時，y＝（x+2）2﹣4，P（，），Q（，），根據(jù)“雙對稱函數(shù)”定義可知：

新圖象f由x＜時拋物線y＝（x+2）2﹣4沿直線y＝翻折所得圖象、x＞時拋物線y＝（x+2）2﹣4沿直線y＝翻折所得圖象及≤x≤時拋物線y＝（x+2）2﹣4三個部分組成，

∴當(dāng)t＝﹣2時，函數(shù)f的解析式為：y＝

③∵當(dāng)﹣1≤x≤1時，函數(shù)f的最小值為ymin，且﹣2≤ymin≤﹣1，

若t＜0，該二次函數(shù)關(guān)于點(diǎn)P、Q的“雙對稱函數(shù)”為：y＝，

當(dāng)t≤﹣1時，點(diǎn)Q始終是“雙對稱函數(shù)”在﹣1≤x≤1的最低點(diǎn)，由﹣2≤2t+≤﹣1，∴≤t≤，故≤t≤﹣1

當(dāng)﹣1＜t＜0時，將x＝﹣1代入得y＝﹣（﹣1﹣t）2+2t+＝﹣t2，由﹣2≤﹣t2≤﹣1，解得：≤t≤，∴﹣1≤t≤

當(dāng)t≥0時，由﹣2≤﹣（﹣1﹣t）2+2t2+≤﹣1，可解得：≤t≤，

綜上所述，t的取值范圍為：﹣≤t≤或≤t≤，