Question

如圖1，矩形鐵片ABCD的長(zhǎng)為2a，寬為a； 為了要讓鐵片能穿過(guò)直徑為

89

10

a的圓孔，需對(duì)鐵片進(jìn)行處理（規(guī)定鐵片與圓孔有接觸時(shí)鐵片不能穿過(guò)圓孔）；
（1）如圖2，M、N、P、Q分別是AD、AB、BC、CD的中點(diǎn)，若將矩形鐵片的四個(gè)角去掉，只余下四邊形MNPQ，則此時(shí)鐵片的形狀是

 

，給出證明，并通過(guò)計(jì)算說(shuō)明此時(shí)鐵片都能穿過(guò)圓孔；
（2）如圖3，過(guò)矩形鐵片ABCD的中心作一條直線分別交邊BC、AD于點(diǎn)E、F（不與端點(diǎn)重合），沿著這條直線將矩形鐵片切割成兩個(gè)全等的直角梯形鐵片；
①當(dāng)BE=DF=

1

5

a時(shí)，判斷直角梯形鐵片EBAF能否穿過(guò)圓孔，并說(shuō)明理由；
②為了能使直角梯形鐵片EBAF順利穿過(guò)圓孔，請(qǐng)直接寫出線段BE的長(zhǎng)度的取值范圍

 

．

Answer 1

分析：（1）利用四條邊相等的四邊形為矩形來(lái)判定四邊形為菱形，然后利用面積相等來(lái)求得菱形一邊的高，與已知數(shù)據(jù)比較后判斷是否能通過(guò)．
（2）利用兩三角形相似得到比例線段，進(jìn)而求出點(diǎn)A到EF的距離，然后與已知線段比較，從而判定能否通過(guò)．

解答：解：（1）是菱形，
如圖，過(guò)點(diǎn)M作MG⊥NP于點(diǎn)G，
∵M(jìn)、N、P、Q分別是AD、AB、BC、CD的中點(diǎn)，
∴△AMN≌△BPN≌△CPQ≌△DMQ，
∴MN=NP=PQ=QM，
∴四邊形MNPQ是菱形，
∵SMNPQ=

1

2

SABCD=

1

2

×2a×a=a2，
MN=

( 1 2 a)2+a2

=

5

2

a，
∴MG=

SMNPQ

MN

=

2

5

5

a＜

89

10

a，
∴此時(shí)鐵片能穿過(guò)圓孔；

（2）①如圖，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥EF于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)E作EK⊥AD于點(diǎn)K，
顯然AB=a＞

89

10

a，
故沿著與AB垂直的方向無(wú)法穿過(guò)圓孔，
過(guò)點(diǎn)A作EF的平行線RS，故只需計(jì)算直線RS與EF之間的距離即可，
∵BE=AK=

1

5

a，EK=AB=a，AF=AD-DF=

9

5

a，
∴KF=AF-AK=

8

5

a，EF=

a2+( 8 5 a)2

=

89

5

a，
∵∠AHF=∠EKF=90°，∠AFH=∠EFK，
∴△AHF∽△EKF，
∴

AH

EK

=

AF

EF

，可得AH=

9 89

89

a＞

89

10

a，
∴該直角梯形鐵片不能穿過(guò)圓孔；
②0＜BE＜

39-3 89

64

a或

39+3 89

64

a＜BE＜2a．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的判定及性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系及相似三角形的性質(zhì)及判定，是一道不錯(cuò)的幾何綜合題．