Question

【題目】如圖1，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，點B在線段AE上，點C在線段AD上．

（1）請直接寫出線段BE與線段CD的關(guān)系： ；

（2）如圖2，將圖1中的△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)角α（0＜α＜360°），

①（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請利用圖2證明；若不成立，請說明理由；

②當AC=ED時，探究在△ABC旋轉(zhuǎn)的過程中，是否存在這樣的角α，使以A、B、C、D四點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出角α的度數(shù)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）BE=CD；（2）①成立；②存在，45°或225°．

【解析】

試題分析：（1）由△ABC和△AED都是等腰直角三角形，得到AB=AC，AE=AD，即可得到BE=CD；

（2）①由△ABC和△AED都是等腰直角三角形，得到AB=AC，AE=AD，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠BAE=∠CAD，得到△BAE≌△CAD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

②由平行四邊形的性質(zhì)可得∠ABC=∠ADC=45°，再由等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

試題解析：（1）∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，∴AB=AC，AE=AD，∴AE﹣AB=AD﹣AC，∴BE=CD；

（2）①成立，理由如下：

∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，∴AB=AC，AE=AD，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠BAE=∠CAD，在△BAE與△CAD中，∵AB=AC，∠BAE=∠CAD，AE=AD，∴△BAE≌△CAD（SAS），∴BE=CD；

②存在，α=45°．∵以A、B、C、D四點為頂點的四邊形是平行四邊形，∴∠ABC=∠ADC=45°，∵AC=ED，∴∠CAD=45°，或360°﹣90°﹣45°=225°，∴角α的度數(shù)是45°或225°．