Question

18．如圖，△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E在線段CD的垂直平分線上，且AE∥BC，ED交AC于點(diǎn)O，判斷△AOE與△DOC是否相似，說明理由．

Answer 1

分析 結(jié)論：△AOE∽△DOC，作EM⊥BA于M，EN⊥AC于N，先證明△EMD≌△ENC，推出∠EDM=∠ECN，再證明△AOD∽△EOC，推出$\frac{AO}{EO}$=$\frac{DO}{CO}$，推出$\frac{AO}{OD}$=$\frac{EO}{OC}$，由此即可證明．

解答 解：結(jié)論：△AOE∽△DOC．理由如下：
如圖，作EM⊥BA于M，EN⊥AC于N，

∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵AE∥BC，
∴∠MAE=∠B，∠EAC=∠ACB，
∴∠MAE=∠EAN，
∴EM=EN，
在Rt△EMD和Rt△ENC中，
$\left\{\begin{array}{l}{EM=EN}\\{ED=EC}\end{array}\right.$，
∴△EMD≌△ENC，
∴∠EDM=∠ECN，∵∠AOD=∠EOC，
∴△AOD∽△EOC，
∴$\frac{AO}{EO}$=$\frac{DO}{CO}$，
∴$\frac{AO}{OD}$=$\frac{EO}{OC}$，∵∠AOE=∠DOC，
∴△AOE∽△DOC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．