Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，且AB=6，C是⊙O上一點，D是 的中點，過點D作⊙O的切線，與AB，AC的延長線分別交于點E，F(xiàn)，連接AD．

（1）求證：AF⊥EF；
（2）填空：
①當BE=時，點C是AF的中點；
②當BE=時，四邊形OBDC是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OD，BD，BC，

∵ED為⊙O的切線，

∴OD⊥EF，

∵D是 的中點，

∴OD⊥BC，

∴EF∥BC，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠AFE=90°，

∴AF⊥EF；

（2）6,3
【解析】（2）①當BE=6時，

解：由（1）知，BC∥EF，當AB=BE時，AC=CF，

∴當BE=6時，點C是AF的中點，

所以答案是：6；

②當BE=3時，

解：∵AB是⊙O的直徑，AB=6，

∴OB=OD=OC=BE=3，

∵ED為⊙O的切線，

∴OD⊥EF，

∴BD=OB=BE，

∵D是 的中點，

∴CD=BD，

∴CD=BD=BO=OD，

四邊形OBDC是菱形．

所以答案是：3．

【考點精析】認真審題，首先需要了解菱形的判定方法(任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形)，還要掌握垂徑定理的推論(推論1：A、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧B、弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧C、平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧；推論2 ：圓的兩條平行弦所夾的弧相等)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．