Question

【題目】 如圖，在△DBC 中，DB＝DC，A 為△DBC 外一點(diǎn)，且∠BAC＝∠BDC，DM⊥AC 于 M．

（1）求證：AD 平分△ABC 的外角；

（2）判斷 AM、AC、AB 有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AC﹣AB＝2AM．

【解析】

1）如圖 1 中，作 DN⊥BA 交 BA 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) N．只要證明△DNB≌

△DMC（AAS），即可推出 DN＝DM 解決問題；

（2）結(jié)論：AC﹣AB＝2AM．利用全等三角形的性質(zhì)即可證明；

（1）證明：如圖 1 中，作 DN⊥BA 交 BA 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) N．

∵∠BAO＝∠ODC，∠AOB＝∠DOC，

∴∠ABO＝∠DCO，

∵DM⊥AC，DN⊥AB，

∴∠DNB＝∠DMC＝90°，

∵DB＝DC，

∴△DNB≌△DMC（AAS），

∴DN＝DM，∵DM⊥AC，DN⊥AB，

AD 平分△ABC 的外角；

（2）結(jié)論：AC﹣AB＝2AM．

理由：∵DN＝DM，DA＝DA，∠DNA＝∠DMA＝90°，

∴Rt△DNA≌Rt△DMA（HL），

∴AN＝AM，

∵△DNB≌△DMC（AAS），

∴BN＝CM，

∴AC﹣AB＝AM+CN﹣（BN﹣AN）＝2AM．