Question

【題目】定義：點(diǎn)P（a，b）關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為P′，以PP′為邊作等邊△PP′C，則稱點(diǎn)C為P的“等邊對稱點(diǎn)”；

（1）若P（1，3），求點(diǎn)P的“等邊對稱點(diǎn)”的坐標(biāo)．

（2）平面內(nèi)有一點(diǎn)P（1，2），若它其中的一個(gè)“等邊對稱點(diǎn)”C在第四象限時(shí)，請求此C點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）若P點(diǎn)是雙曲線y＝（x＞0）上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P的“等邊對稱點(diǎn)”點(diǎn)C在第四象限時(shí)，

①如圖（1），請問點(diǎn)C是否也會在某一函數(shù)圖象上運(yùn)動(dòng)？如果是，請求出此函數(shù)的解析式；如果不是，請說明理由．

②如圖（2），已知點(diǎn)A （1，2），B （2，1），點(diǎn)G是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在y軸上，若以A、G、F、C這四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)C的縱坐標(biāo)yc的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）C 或C（；（3）yc≤﹣6或﹣3＜yc≤﹣2；

【解析】

（1）由定義可知P’的坐標(biāo)，設(shè)C坐標(biāo)為（m，n），進(jìn)而根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)公式和等邊三角形三邊相等即可列出方程求解即可.

（2）同（1）求出點(diǎn)C坐標(biāo)，根據(jù)它其中的一個(gè)“等邊對稱點(diǎn)”C在第四象限可得C點(diǎn)坐標(biāo).

（3）①設(shè)P（c，），則P'（﹣c，﹣），設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（s，t），同（1）列方程組即可求出C點(diǎn)坐標(biāo)為,即可求出點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的函數(shù)解析式.

②設(shè)G點(diǎn)橫坐標(biāo)為t，則由直線AB解析式可知G點(diǎn)坐標(biāo)為（t，-t+3），由F點(diǎn)在x軸可知其橫坐標(biāo)為0，分兩種情況可：I. 當(dāng)AG為平行四邊形的邊時(shí)，則C點(diǎn)坐標(biāo)為（t-1，yc），II.AG為對角線，則C點(diǎn)坐標(biāo)為（2t，yc）因?yàn)镃在上，故由t的取值范圍即可確定yc的取值范圍.

解：（1）∵P（1，3），

∴P'（﹣1，﹣3），

∴PP'2＝40，

∴PC2＝P'C2＝40，

設(shè)C（a，b），

∴a＝﹣3b，

∴b＝，

∴C（3，﹣）或C（﹣3，）；

（2））∵P（1，2），

∴P'（﹣1，﹣2），

∴PP'2＝20，

∴PC2＝P'C2＝20，

設(shè)C（a，b），

∴，

∴a＝﹣2b，

∴b＝，

∴C（2，﹣）或C（﹣2，），

∵C在第四象限，

∴C（2，﹣）；

（3）①設(shè)P（c，），

∴P'（﹣c，﹣），

∴PP'2＝，

PC2＝P'C2＝，

設(shè)C（s，t），

∴，

∴s＝，

∴t2＝3c2，

∴t＝ ，

∴C 或C，

∴點(diǎn)C在第四象限，c＞0，

∴C，

令，

∴xy＝﹣6，即y＝（x＞0）；

②∵A（1，2），B（2，1），

∴經(jīng)過AB直線為y=-x+3，

設(shè)G點(diǎn)為（t，3-t），

I. 當(dāng)AG為平行四邊形的邊時(shí)，

∵F在y軸上，故C點(diǎn)橫坐標(biāo)為t-1，

又∵點(diǎn)C在y＝（x＞0）上，

∴，

∵G在線段AB上，

∴1＜t≤2，

∴≤-6，

II.當(dāng)AG為對角線時(shí)，F(xiàn)在y軸上，故C點(diǎn)橫坐標(biāo)為2t，

∴，

∵G在線段AB上，

∴1＜t≤2，

∴-3＜≤2.

綜上所述：yc≤﹣6或﹣3＜yc≤﹣2；