【題目】如圖1,四邊形ABCD和AEFG是兩個互相重合的矩形,如圖2將矩形AEFG繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)α度(0≤α≤90°),點G恰好落在矩形ABCD的對角線上,AB與FG相交于點M,連接BE交FG于點N.
(1)當(dāng)AB=AD時,請直接寫出∠ABE的度數(shù);
(2)當(dāng)∠ADB=60°時,求∠ABE的度數(shù);
(3)如圖3,當(dāng)AB=2AD=2時,①求點A到直線BE的距離; ②直接寫出△BMN的周長.
【答案】(1)∠ABE=45°;(2)∠ABE=60°;(3)點A到直線BE的距離為;△BMN的周長為=+.
【解析】
(1)當(dāng)AB=AD時,判斷出點G和點B重合,即可得出結(jié)論;
(2) 先判斷出△ADG是等邊三角形, 得出∠DAG=, 再判斷出△ABE是等邊三角形, 即可得出結(jié)論;
(3)①先確定出BD=, sin∠ADB== =COS∠ABD, 進(jìn)而得出AQ=, 再判斷出ΔADQ∽ΔABH, 即可得出結(jié)論;
②先求出BH=, 即: BE=2BH=再判斷出∠FEN=∠ABD, 即可求出∠BNM, 最后由ΔBMN∽ΔBAE, 求出M N=BM=, 即可得出結(jié)論.
解:(1)如圖1,
當(dāng)AB=AD時,矩形ABCD和矩形AEFG都是正方形,
∴旋轉(zhuǎn)使點G在正方形對角線上時,點G和點B重合,
在△ABE中,∠BAE=90°,AE=AB,
∴∠ABE=45°;
(2)在Rt△ABD中,∠ADB=60°,
由旋轉(zhuǎn)知,AD=AG,
∴△ADG是等邊三角形,
∴∠DAG=60°,
∴∠BAG=90°﹣60°=30°,
∴∠BAE=90°﹣30°=60°,
∵AB=AE,
∴△ABE是等邊三角形,
∴∠ABE=60°;
(3)①如圖3,
過點A作AH⊥BE于H,
∴∠BAH=∠BAE,
∴AH就是點A到直線BE的距離,
在Rt△ABD中,AB=2AD=2,
∴AD=1,根據(jù)勾股定理得,BD=,sin∠ADB====cos∠ABD,
過點A作AQ⊥BD于Q,
∴∠DAQ=∠DAG,
在Rt△ADQ中,tan∠ADB==,
∴AQ=AD=,
由旋轉(zhuǎn)知,∠DAG=∠BAE,
∴∠DAQ=∠BAH,
∵∠AQD=∠AHB,
∴△ADQ∽△ABH,
∴=,
∴AH=,
即:點A到直線BE的距離為;
②由①知,AH=,
在Rt△ABH中,根據(jù)勾股定理得,BH==,
∴BE=2BH=,
由①知,∠ABE=∠ADB,
∴∠NBG=90°,
∵∠NFE=90°,
∴∠FEN=∠BGN,
∵∠BGN+∠QAG=90°,
∴∠FEN=∠GAQ=∠DAQ=∠ABD,
在Rt△EFN中,cos∠FEN==cos∠ABD=,
∴=,
∴EN=,
∴BN=BE﹣NE=,
∵M(jìn)N∥AE,
∴△BMN∽△BAE,
∴,
∴=,
∴MN=BM=,
∴△BMN的周長為MN+BM+BN=.
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【題目】一個二次函數(shù)圖象上部分點的橫坐標(biāo)x,縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如下表:
x | … | ﹣4 | ﹣3 | ﹣2 | ﹣1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
y | … | ﹣ | 0 | 2 | 0 | m | ﹣6 | ﹣ | … |
(1)求這個二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)求m的值;
(3)在給定的直角坐標(biāo)系中,畫出這個函數(shù)的圖象;
(4)根據(jù)圖象,寫出當(dāng)y<0時,x的取值范圍.
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【題目】如圖,AB為⊙O直徑,C、D為⊙O上不同于A、B的兩點,OC平分∠ACD,過點C作CE⊥DB,垂足為E,直線AB與直線CE相交于F點.
(1)求證:CF為⊙O的切線;
(2)當(dāng)BF=2,∠F=30°時,求BD的長.
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【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,有下列結(jié)論:
①b2﹣4ac>0;②abc>0;③8a+c>0;④9a+3b+c<0. 其中,正確結(jié)論的有_____.
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【題目】下列判斷正確的是( )
A. “任意選擇某一電視頻道,它正在播放動畫片”是必然事件
B. 某運動員投一次籃,投中的概率為0.8,則該運動員投5次籃,一定有4次投中
C. 任意拋擲一枚均勻的硬幣,反面朝上的概率為
D. 布袋里有3個白球,1個黑球.任意取出1個球,恰好是黑球的概率是
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【題目】如圖,已知⊙C的半徑為2,圓外一點O滿足OC=3.5,點P為⊙C上一動點,經(jīng)過點O的直線l上有兩點A、B,且OA=OB,∠APB=90°,l不經(jīng)過點C,則AB的最小值為( )
A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知正比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象交于點,設(shè)軸上有一點,過點作軸的垂線(垂線位于點的右側(cè))分別交和的圖象與點、,連接,若,則的面積為( )
A.B.C.D.
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【題目】如圖,在△ABC中,點D是邊BC上的一點,點E是邊AC上的一點,且AB=AC=DC,BD=CE,連接AD、DE.
(1)求證:△ADE是等腰三角形;
(2)若∠ADE=40°,請求出∠BAC的度數(shù).
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