Question

（2012•安岳縣模擬）在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1．過點(diǎn)B作直線EF⊥BC，點(diǎn)P為線段AB上一動點(diǎn)（與點(diǎn)A，B均不重合），過點(diǎn)P作MN∥BC并交AC于點(diǎn)M，交EF于點(diǎn)N，作PD⊥PC，交直線EF于點(diǎn)D．
（1）若點(diǎn)D在線段NB上（如圖1）求證：△PCM≌△DPN；
（2）若點(diǎn)D在線段NB延長線上（如圖2）且BP=BD，求AP的長；
（3）設(shè)AP=x，且P、C、D、B為頂點(diǎn)的四邊形的面積為y，請直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）易知四邊形MCBN是矩形，△PNB是等腰直角三角形．矩形的對邊MC=NB．等腰直角△PNB的兩直角邊PN=NB，即PN=CM；然后根據(jù)同角的余角相等證得∠MCP=∠NPB；最后由全等三角形的判定定理ASA證得△PCM≌△DPN；
（2）易知四邊形MCBN是矩形，△PNB、△AMP是等腰直角三角形．根據(jù)全等三角形（△MCP≌△NDP）的對應(yīng)邊相等、勾股定理來求線段AP的長度．
（3）需要分類討論：若點(diǎn)D在線段NB上（如圖1），寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；若點(diǎn)D在線段NB延長線上（如圖2），寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式．

解答：（1）證明：∵∠ACB=90°，EF⊥BC，
∴AC∥EF．
又∵M(jìn)N∥BC，
∴四邊形MCBN是矩形，
∴∠PMC=∠DNP=90°，MC=NB．
∵在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CBA=∠CAB=45°．
∴∠PBN=∠NPB=45°，
∴NP=NB．
∴MC=NP．
又∵PD⊥PC，
∠MCP=∠DPN（同角的余角相等）．
在△PCM與△DPN中，

∠PMC=∠DNP MC=NP ∠MCP=∠DPN

，
∴△PCM≌△DPN（ASA）；

解：（2）∵在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1．
∴AB=

2

．
同（1）：四邊形MCBN是矩形，△PCM≌△DPN（ASA），則MC=NB，MP=ND．
∵∠A=∠PBN=45°，
∴∠MPB=∠A=45°，∠PBN=∠BPN=45°，
∴AM=PM，PN=NB，
∴AP=

2

AM，BP=

2

BN=

2

MC．
∵BP=BD，
∴ND=NB+BD=MC+

2

MC=MP=AM，即1-AM+

2

（1-AM）=AM，
解得，AM=

2

2

，
∴AP=

2

AM=1；

（3）①若點(diǎn)D在線段NB上（如圖1），S_{四邊形PCBD}=S_矩形MCBN-2S_△PMC=1×（1-

2

2

x）-2×

1

2

×（1-

2

2

x）×

2

2

x=

1

2

x²-

2

x+1，即y=

1

2

x²-

2

x+1；
②若點(diǎn)D在線段NB延長線上（如圖2），連接CD．
S_{四邊形PCBD}=S_梯形MCDN-S_△PMC-S_△PNB=

1

2

（MC+AM）•BC-

1

2

AM•MC-

1

2

MC•MC=

1

2

×1×1-

1

2

×

2

2

x×（1-

2

2

x）-

1

2

（1-

2

2

x）（1-

2

2

x）=

2

4

x，即y=

2

4

x．

點(diǎn)評：本題考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)．解答（3）題時(shí)，要分類討論，以防漏解．