Question

已知二次函數(shù)y=ax²-2ax+c的圖象與x軸交于A（-1，0）、B兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)為M．
（Ⅰ）根據(jù)圖象，解不等式ax²-2ax+c＞0；
（Ⅱ）若點(diǎn)D（-3，6）在二次函數(shù)的圖象上，試問：線段OB上是否存在N點(diǎn)，使得∠ADB=∠BMN？若存在，求出N點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)圖象確定出二次函數(shù)的對(duì)稱軸，再根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后找出函數(shù)圖象在x軸上方的x的取值范圍即可；
（Ⅱ）根據(jù)點(diǎn)A、D的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)解析式求出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，存在N（t，0）（0≤t≤3），過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，設(shè)對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為F，根據(jù)點(diǎn)D、B、M的坐標(biāo)求出∠DBA=∠MBN=45°，再結(jié)合∠ADB=∠BMN證明△ADB和△NMB相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可．

解答：解：（Ⅰ）∵函數(shù)y=ax²-2ax+c圖象的對(duì)稱軸為直線x=1，
∴A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
又∵A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，0），
∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），
由圖可知，二次函數(shù)開口向上，a＞0，
所以，不等式ax²-2ax+c＞0的解集為x＜-1或x＞3；

（Ⅱ）存在點(diǎn)N（

5

3

，0），使得∠ADB=∠BMN．
理由如下：∵A（-1，0）、D（-3，6）都在此函數(shù)圖象上，
∴

a+2a+c=0 9a+6a+c=6

，
解得

a= 1 2 c=- 3 2

，
∴此二次函數(shù)的解析式為：y=

1

2

x²-x-

3

2

=

1

2

（x-1）²-2，
函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為M（1，-2），
假設(shè)線段OB上存在N（t，0）（0≤t≤3）點(diǎn)，使得∠ADB=∠BMN，
過D作DE⊥x軸于E，設(shè)對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)F，
∵D（-3，6），B（3，0），M（1，-2），
∴DE=6，BE=OB+OE=6，MF=2，BF=3-1=2，
∴△DEB、△BMF為等腰直角三角形，∠DBA=∠MBN=45°，
又∵∠ADB=∠BMN，
∴△ADB∽△NMB，
∴

AB

BN

=

DE

MF

，
即

4

3-t

=

6

2

，
解得t=

5

3

，
所以，線段OB上存在點(diǎn)N（

5

3

，0），使得∠ADB=∠BMN．

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)二次函數(shù)的綜合考查，主要利用了二次函數(shù)的對(duì)稱性，利用函數(shù)圖象求不等式的解集，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，（Ⅱ）中根據(jù)數(shù)據(jù)的特殊性求出△DEB、△BMF為等腰直角三角形，從而得到∠DBA=∠MBN=45°是解題的關(guān)鍵．