如圖,已知C在⊙O上,過點C的切線與直徑AB的延長線交于點E,過點A作EC的垂線交直線EC于D,與⊙O交于點F,連結AC、CF.求證:AC2=AE·AF.

答案:
解析:

  證明:連結BF,則∠BFA=,

  ∴BF∥ED.

  ∴∠E=∠ABF=∠ACF.

  又∵∠EAC=∠BFC=∠FCD,

  且∠FCD=∠CAF,

  ∴∠EAC=∠CAF.

  ∴△AEC∽△ACF.

  ∴

  ∴AC2=AE·AF.


提示:

  尋求幾何問題證題思路的常用方法是分析法,即假設命題的結論成立,若能由此逐步推導到已知條件或熟知的定理,且這些推理過程是互逆的,那么它的證題思路就算找到了.比如本題,要證AC2=AE·AF成立,因這些線段分別是△AEC和△ACF的對應邊,故只須證這兩個三角形相似;而要證它們相似,只須證它們有兩對對應角相等.至此,問題轉化為“證明△AEC和△ACF的對應角相等”.在這些角中,除∠E外,它們都是⊙O的圓周角或弦切角.為便于比較,最好把∠E也轉化為圓周角或弦切角,而實現(xiàn)這一轉化的最方便做法是作輔助殘BF.當然,也可以運用弦切角定理來證明它們另一對較大的角(∠ACE和∠AFC)相等,同樣可證明△AEC∽△ACF.


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