Question

如圖，已知邊長為2的正三角形ABC沿著直線l滾動．設(shè)△ABC滾動240°時，C點的位置為C′，△ABC滾動480°時，A點的位置為A′．請你利用三角函數(shù)中正切的兩角和公式：tan（α+β）=（tanα+tanβ）÷（1-tanα•tanβ），求出∠CAC′+∠CAA′的度數(shù)．（　　）

A．30°

B．90°

C．60°

D．45°

Answer 1

分析：過B作BD⊥AC于D，由等邊三角形性質(zhì)得：AD=1=CD，求出BD，求出tan∠CAC′和tan∠CAA′，代入公式求出tan（∠CAC′+∠CAA′）的值，即可求出答案．

解答：解：∵△ABC滾動240°時，C點的位置為C′，△ABC滾動480°時，A點的位置為A′，
過B作BD⊥AC于D，由等邊三角形性質(zhì)得：AD=1=CD，
由因為正三角形ABC的高BD=

22-12

=

3

，
tan∠CAC′=

3

2+2+1

=

3

5

，
tan∠CAA′=

3

4×2+1

=

3

9

，
∵由公式tan（α+β）=（tanα+tanβ）÷（1-tanα•tanβ）得：
tan（∠CAC′+∠CAA′）=（tan∠CAC′+tan∠CAA′）÷（1-tan∠CAC′•tan∠CAA′）=（

3

5

+

3

9

）÷（1-

3

5

×

3

9

）=

3

3

．
∴∠CAC’+∠CAA’=30°，
故選A．

點評：本題考查了勾股定理，解直角三角形，等邊三角形性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的閱讀能力和計算能力，題型較好，是一道比較好的題目．