Question

如圖所示，在直角梯形ABCD中，∠D=∠C=90°，AB=4，BC=6，AD=8，點(diǎn)P、Q同時從A點(diǎn)出發(fā)，分別做勻速運(yùn)動，其中點(diǎn)P沿AB、BC向終點(diǎn)C運(yùn)動，速度為每秒2個單位，點(diǎn)Q沿AD向終點(diǎn)D運(yùn)動，速度為每秒1個單位，當(dāng)這兩點(diǎn)中有一個點(diǎn)到達(dá)自己的終點(diǎn)時，另一個點(diǎn)也停止運(yùn)動，設(shè)這兩個點(diǎn)從出發(fā)運(yùn)動了t秒．
（1）動點(diǎn)P與Q哪一點(diǎn)先到達(dá)自己的終點(diǎn)？此時t為何值；
（2）當(dāng)O＜t＜2時，寫出△PQA的面積S與時間t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）以PQ為直徑的圓能否與CD相切？若有可能，求出t的值或t的取值范圍；若不可能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）P點(diǎn)的運(yùn)動的總路程為AB+BC=10，Q點(diǎn)的總路程為AD=8，可根據(jù)它們的速度求出各自到達(dá)終點(diǎn)時用的時間，進(jìn)行比較即可；
（2）要求三角形PQA的面積就要求出三角形的底和高，底AQ可以用時間表示出來，高可以根據(jù)AP和∠A的度數(shù)來求；如果過B引AD邊的垂線，那么∠A的余弦值就是（AD-BC）÷AB，據(jù)此可求出∠A的度數(shù)，也就能求出三角形APQ的高；然后根據(jù)三角形的面積公式即可得出關(guān)于S，t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)P在AB上時，即0＜t＜2，顯然不可能和CD相切．
當(dāng)P在BC上時，即2≤t≤5時，如果圓與CD相切，設(shè)切點(diǎn)為K，連接圓心和K，這條線段就是直角梯形DPOD的中位線，由此可用CP，DO表示出OK，也就可以用含t的式子表示出圓的直徑；如果過P引AD的垂線，那么CP，DQ的差，CD，PQ這三者恰好可以根據(jù)勾股定理來得出關(guān)于t的方程，解方程后即可求出t的值．

解答：解：（1）∵當(dāng)P到c點(diǎn)時，t=5（秒），
當(dāng)Q到D點(diǎn)時，t=8（秒），
∴點(diǎn)P先到達(dá)終點(diǎn)，此時t為5秒；

（2）如圖，作BE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥AD于點(diǎn)F．
AE=2，在Rt△ABE中∠A=60°，PF=

3

t，
∴s=

3

2

t²（0＜t＜2）；

（3）當(dāng)0＜t＜2時，以PO為直徑的圓與CD不可能相切．
當(dāng)2≤t≤5時，設(shè)以PQ為直徑的⊙O與CD相切于點(diǎn)K，
則有PC=10-2t，DQ=8-t，OK⊥DC．
∵OK是梯形PCDQ的中位線，
∴PQ=20K=PC+DO=18-3t．
在直角梯形PCDQ中，PO²=CD²+（DO-CP）²，
解得：t=

13± 15

2

．
∵

13+ 15

2

＞5，不合題意舍去．
2＜

13- 15

2

＜5，
因此，當(dāng)t=

13- 15

2

時，以PQ為直徑的圓與CD相切．

點(diǎn)評：本題主要考查了直角梯形的性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用以及中位線的應(yīng)用等知識點(diǎn)．