【題目】(知識(shí)生成)我們知道,用兩種不同的方法計(jì)算同一個(gè)幾何圖形的面積,可以得到一些代數(shù)恒等式.

例如:如圖可以得到(a+b)2=a2+2ab+b2,基于此,請(qǐng)解答下列問題:

根據(jù)如圖,寫出一個(gè)代數(shù)恒等式:

;

利用⑴中得到的結(jié)論,解決下面的問題:若a+b+c=12,,

;

小明同學(xué)用如圖中x張邊長(zhǎng)為a的正方形,y張邊長(zhǎng)為b的正方形,z張寬、長(zhǎng)分別為a、b的長(zhǎng)方形紙片拼出一個(gè)面積為(2a+b)(a+3b)的長(zhǎng)方形,則xyz=

(知識(shí)遷移)⑷ 類似地,用兩種不同的方法計(jì)算幾何體的體積同樣可以得到一些代數(shù)恒等式.如圖表示的是一個(gè)邊長(zhǎng)為x的正方體挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為2的小長(zhǎng)方體后重新拼成一個(gè)新長(zhǎng)方體.請(qǐng)你根據(jù)如圖中兩個(gè)圖形的變化關(guān)系,寫出一個(gè)代數(shù)恒等式.

【答案】⑴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc; 90; 12 x3-4x=x(x-2)(x-2)

【解析】

1)依據(jù)正方形的面積=a+b+c2;正方形的面積=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc,可得等式;
2)依據(jù)a2+b2+c2=a+b+c2-2ab-2ac-2bc,進(jìn)行計(jì)算即可;
3)依據(jù)所拼圖形的面積為:xa2+yb2+zab,而(2a+b)(a+3b)= 2a2+6ab+3b2,即可得到x,y,z的值.
4)根據(jù)原幾何體的體積=新幾何體的體積,列式可得結(jié)論.

1)由圖2得:正方形的面積=a+b+c2;正方形的面積=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc,
∴(a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc,
故答案為:(a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc;
2)∵(a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc,
a+b+c=12,ab+ac+bc=27,
122=a2+b2+c2+2×27,
a2+b2+c2=144-54=90,
故答案為:90
3)由題意得:(2a+b)(a+3b)=xa2+yb2+zab,
2a2+7ab+3b2=xa2+yb2+zab

,

x+y+z=12,
故答案為:12;
4)∵原幾何體的體積=x3-2×2x=x3-4x,新幾何體的體積=x+2)(x-2x,
x3-4x=x+2)(x-2x
故答案為:x3-x=x+2)(x-2x

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(1)求t為何值時(shí),線段AQ、線段PM互相平分.
(2)設(shè)四邊形APQM的面積為Scm2 , 求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式;設(shè)菱形ABCD的面積為SABCD , 求是否存在一個(gè)時(shí)刻t,使S:SABCD=2:5?如果存在,求出t,如果不存在,請(qǐng)說明理由.
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