Question

【題目】如圖1所示，已知拋物線y=﹣x2+4x+5的頂點為D，與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，E為對稱軸上的一點，連接CE，將線段CE繞點E按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后，點C的對應(yīng)點C′恰好落在y軸上．

（1）直接寫出D點和E點的坐標；
（2）點F為直線C′E與已知拋物線的一個交點，點H是拋物線上C與F之間的一個動點，若過點H作直線HG與y軸平行，且與直線C′E交于點G，設(shè)點H的橫坐標為m（0＜m＜4），那么當m為何值時，S△HGF：S△BGF=5：6？
（3）圖2所示的拋物線是由y=﹣x2+4x+5向右平移1個單位后得到的，點T（5，y）在拋物線上，點P是拋物線上O與T之間的任意一點，在線段OT上是否存在一點Q，使△PQT是等腰直角三角形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9

∴D點的坐標是（2，9）；

∵E為對稱軸上的一點，

∴點E的橫坐標是：﹣=2，

設(shè)點E的坐標是（2，m），點C′的坐標是（0，n），

∵將線段CE繞點E按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后，點C的對應(yīng)點C′恰好落在y軸上，

∴△CEC′是等腰直角三角形，

∴

解得或（舍去），

∴點E的坐標是（2，3），點C′的坐標是（0，1）．

綜上，可得D點的坐標是（2，9），點E的坐標是（2，3）．

（2）

解：如圖1所示：

令拋物線y=﹣x2+4x+5的y=0得：x2﹣4x﹣5=0，

解得：x1=﹣1，x2=5，

所以點A（﹣1，0），B（5，0）．

設(shè)直線C′E的解析式是y=kx+b，將E（2，3），C′（0，1），代入得，

解得：，

∴直線C′E的解析式為y=x+1，

將y=x+1與y=﹣x2+4x+5，聯(lián)立得：，

解得：，，

∴點F得坐標為（4，5），點A（﹣1，0）在直線C′E上．

∵直線C′E的解析式為y=x+1，

∴∠FAB=45°．

過點B、H分別作BN⊥AF、HM⊥AF，垂足分別為N、M．

∴∠HMN=90°，∠ADN=90°．

又∵∠NAD=∠HNM=45°．

∴△HGM∽△ABN

∴，

∵S△HGF：S△BGF=5：6，

∴．

∴，即，

∴HG=5．

設(shè)點H的橫坐標為m，則點H的縱坐標為﹣m2+4m+5，則點G的坐標為（m，m+1），

∴﹣m2+4m+5﹣（m+1）=5．

解得：m1=，m2=．

（3）

解：由平移的規(guī)律可知：平移后拋物線的解析式為y=﹣（x﹣1）2+4（x﹣1）+5=﹣x2+6x．

將x=5代入y=﹣x2+6x得：y=5，

∴點T的坐標為（5，5）．

設(shè)直線OT的解析式為y=kx，將x=5，y=5代入得；k=1，

∴直線OT的解析式為y=x，

①如圖2所示：當PT∥x軸時，△PTQ為等腰直角三角形，

將y=5代入拋物線y=﹣x2+6x得：x2﹣6x+5=0，

解得：x1=1，x2=5．

∴點P的坐標為（1，5）．

將x=1代入y=x得：y=1，

∴點Q的坐標為（1，1）．

②如圖3所示：

由①可知：點P的坐標為（1，5）．

∵△PTQ為等腰直角三角形，

∴點Q的橫坐標為3，

將x=3代入y=x得；y=3，

∴點Q得坐標為（3，3）．

③如圖4所示：

設(shè)直線PT解析式為y=kx+b，

∵直線PT⊥QT，

∴k=﹣1．

將k=﹣1，x=5，y=5代入y=kx+b得：b=10，

∴直線PT的解析式為y=﹣x+10．

將y=﹣x+10與y=﹣x2+6x聯(lián)立得：x1=2，x2=5

∴點P的橫坐標為2．

將x=2代入y=x得，y=2，

∴點Q的坐標為（2，2）．

綜上所述：點Q的坐標為（1，1）或（3，3）或（2，2）．

【解析】（1）首先根據(jù)拋物線y=﹣x2+4x+5的頂點為D，求出點D的坐標是多少即可；然后設(shè)點E的坐標是（2，m），點C′的坐標是（0，n），根據(jù)△CEC′是等腰直角三角形，求出E點的坐標是多少即可．
（2）令拋物線y=﹣x2+4x+5的y=0得：x2﹣4x﹣5=0可求得A、B的坐標，然后再根據(jù)S△HGF：S△BGF=5：6，得到：，然后再證明△HGM∽△ABN，，從而可證得，所以HG=5，設(shè)點H（m，﹣m2+4m+5），G（m，m+1），最后根據(jù)HG=5，列出關(guān)于m的方程求解即可；
（3）分別根據(jù)∠P、∠Q、∠T為直角畫出圖形，然后利用等腰直角三角形的性質(zhì)和一次函數(shù)的圖象的性質(zhì)求得點Q的坐標即可．