【題目】已知:如圖1,等邊OAB的邊長為3,另一等腰OCAOAB有公共邊OA,且OC=AC,C=120°.現(xiàn)有兩動點P、Q分別從B、O兩點同時出發(fā),點P以每秒3個單位的速度沿BO向點O運動,點Q以每秒1個單位的速度沿OC向點C運動,當其中一個點到達終點時,另一個點也隨即停止運動.請回答下列問題:

(1)在運動過程中,OPQ的面積記為S,請用含有時間t的式子表示S.

(2)在等邊OAB的邊上(點A除外),是否存在點D,使得OCD為等腰三角形?如果存在,這樣的點D共有 個.

(3)如圖2,現(xiàn)有MCN=60°,其兩邊分別與OB、AB交于點M、N,連接MN.將MCN繞著點C旋轉(zhuǎn),使得M、N始終在邊OB和邊AB上.試判斷在這一過程中,BMN的周長是否發(fā)生變化?若沒有變化,請求出其周長;若發(fā)生變化,請說明理由.

【答案】1S=﹣t2+t;24;(3)BMN的周長不發(fā)生變化,理由見解析

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)題意分別表示出QO,OP的長,進而得出S與t的關系式;

(2)如果OCD為等腰三角形,那么分D在OA邊或者OB邊上或AB邊上三種情形.每一種情形,都有可能O為頂點,C為頂點,D為頂點,分別討論,得出答案;

(3)如果延長BA至點F,使AF=OM,連接CF,則由SAS可證MOC≌△FAC,得出MC=CF,再由SAS證出MCN≌△FCN,得出MN=NF,進而求出BMN的周長.

解:(1)如圖1,OC=AC,ACO=120°,

∴∠AOC=OAC=30°

∴∠POQ=90°,

OQ=t,OP=3﹣3t.

SOPQ=OQ×OP=t×(3﹣3t)=﹣t2+t,

即S=﹣t2+t;

(2)如圖2,(i)當D點在OA上,

①以D為頂點,D1C=OD1,

②以O為頂點,OD2=OC,

(ii)當D點在OB上,

由于BOC=90°,因此不存在以C或D為頂點的等腰三角形,

以O為頂點時,OD3=OC.

(iii)當D點在AB上時,

此時OD的最短距離為ODAB時,此時OD≠OC,不存在以O為頂點的等腰三角形;

當以C為頂點時,D點和A點重合,

當以D為頂點時,OD4=CD4

綜上所述,這樣的點D共有4個;

故答案為:4;

(3)BMN的周長不發(fā)生變化.理由如下:

延長BA至點F,使AF=OM,連接CF.(如圖3)

∵∠MOC=FAC=90°,OC=AC,

MOCFAC

∴△MOC≌△FAC(SAS),

MC=CF,MCO=FCA

∴∠FCN=FCA+NCA=MCO+NCA=OCAMCN=60°

∴∠FCN=MCN

MCNFCN中,

,

∴△MCN≌△FCN(SAS),

MN=NF

BM+MN+BN=BM+NF+BN=BO﹣OM+BA+AF=BA+BO=6.

∴△BMN的周長不變,其周長為6.

練習冊系列答案
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