【題目】(1)如圖1:在四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°.E,F分別是BC,CD上的點(diǎn).且∠EAF=60°.探究圖中線段EF,BEFD之間的數(shù)量關(guān)系.

小明同學(xué)探究的方法是:延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G.使DG=BE.連結(jié)AG,先證明△ABE≌△ADG,再證明△AEF≌△AGF,可得出結(jié)論,

他的結(jié)論是   (直接寫結(jié)論,不需證明);

(2)如圖2,若在四邊形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E、F分別是BC,CD上的點(diǎn),且∠EAF是∠BAD的二分之一,上述結(jié)論是否仍然成立,并說(shuō)明理由.

(3)如圖3,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為5的正方形,∠EBF=45°,直接寫出三角形DEF的周長(zhǎng).

【答案】1EF=BE+DF.(2)成立,理由見解析;(310.

【解析】

1)如圖1,延長(zhǎng)FD到G,使得DG=DC,先證ABE≌△ADG,得到AE=AG,∠BAE=DAG,進(jìn)一步根據(jù)題意得∠EAF=GAF,再證明AEF≌△AGF,得到EF=FG,最后運(yùn)用線段的和差證明即可.

(2) 如圖2,延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G.使DG=BE.連結(jié)AG,證得ABE≌△ADG,得到AE=AG,∠BAE=∠DAG,再結(jié)合題意得到EAF=∠GAF,再證明AEF≌△AGF得到EF=FG,最后運(yùn)用線段的和差證明即可.

(3)如圖3,延長(zhǎng)DC到點(diǎn)G,截取CG=AE,連接BG,先證AEB≌△CGB,得到BE=BG,∠ABE=∠CBG,結(jié)合已知條件得∴∠CBF+∠CBG=45°,再證明EBF≌△GBF,得到EF=FG,最后求三角形的周長(zhǎng)即可.

解答:(1)解:如圖1,延長(zhǎng)FD到G,使得DG=DC

在△ABE和△ADG中,

∴△ABE≌△ADGSAS),

AE=AG,∠BAE=∠DAG

∵∠EAF=BAD

∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF,

∴∠EAF=∠GAF

在△AEF和△GAF中,

,

∴△AEF≌△AGFSAS),

EF=FG,

FG=DG+DF=BE+DF,

EF=BE+DF;

故答案為:EF=BE+DF

2)解:結(jié)論EF=BE+DF仍然成立;

理由:如圖2,延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G.使DG=BE.連結(jié)AG

在△ABE和△ADG中,

,

∴△ABE≌△ADGSAS),

AE=AG,∠BAE=∠DAG,

∵∠EAF=BAD

∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF,

∴∠EAF=∠GAF,

在△AEF和△GAF中,

∴△AEF≌△AGFSAS),

EF=FG

FG=DG+DF=BE+DF

EF=BE+DF;

3)解:如圖3,延長(zhǎng)DC到點(diǎn)G,截取CG=AE,連接BG,

在△AEB與△CGB中,

,

∴△AEB≌△CGBSAS),

BE=BG,∠ABE=∠CBG

∵∠EBF=45°,∠ABC=90°,

∴∠ABE+∠CBF=45°,

∴∠CBF+∠CBG=45°.

在△EBF與△GBF中,

,

∴△EBF≌△GBFSAS),

EF=GF

∴△DEF的周長(zhǎng)=EF+ED+CF=AE+CF+DE+DF=AD+CD=10

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1)當(dāng)時(shí)(如圖2),小明測(cè)得,請(qǐng)根據(jù)小明的測(cè)量結(jié)果,求的大小;

2)當(dāng)時(shí),將沿翻折,得到(如圖3),小明和小亮發(fā)現(xiàn)的大小與角度有關(guān),請(qǐng)找出它們的關(guān)系,并說(shuō)明理由;

3)如圖4,在(2)問(wèn)的基礎(chǔ)上,過(guò)點(diǎn)的垂線,垂足為點(diǎn),延長(zhǎng)到點(diǎn),使得,連接,請(qǐng)判斷的形狀,并說(shuō)明理由.

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2)觀察圖2,請(qǐng)你寫出三個(gè)代數(shù)式(mn)2,(mn)2mn之間的等量關(guān)系式:______________

3)根據(jù)(2)中的結(jié)論,若xy=6xy=2.75,則xy=____________

4)有許多代數(shù)恒等式可以用圖形的面積來(lái)表示.如圖3所示,它表示了(2mn)(mn)=2m23mnn2.試畫出一個(gè)幾何圖形,使它的面積能表示為(mn)(m2n)=m23mn2n2

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