Question

【題目】如圖：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知正比例函數(shù)y=與一次函數(shù)y=﹣x+7的圖象交于點(diǎn)A．

（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）在y軸上確定點(diǎn)M，使得△AOM是等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）如圖、設(shè)x軸上一點(diǎn)P（a，0），過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線（垂線位于點(diǎn)A的右側(cè)），分別交y=和y=﹣x+7的圖象于點(diǎn)B、C，連接OC，若BC=OA，求△ABC的面積及點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（4）在（3）的條件下，設(shè)直線y=﹣x+7交x軸于點(diǎn)D，在直線BC上確定點(diǎn)E，使得△ADE的周長(zhǎng)最小，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）（3，4）；（2）點(diǎn)M為（0，5）、（0，﹣5）、（0，8）、（0，）；（3）點(diǎn)B（9，12）、C（9，﹣2）；（4）點(diǎn)E坐標(biāo)為（9，1）．

【解析】

試題分析：（1）聯(lián)立正比例函數(shù)與一次函數(shù)解析式組成方程組，求出方程組的解得到x與y的值，確定出A坐標(biāo)即可；

（2）利用勾股定理求出OA的長(zhǎng)，根據(jù)M在y軸上，且△AOM是等腰三角形，如圖1所示，分情況討論，求出M坐標(biāo)即可；

（3）設(shè)出B與C坐標(biāo)，表示出BC，由已知BC與OA關(guān)系，及OA的長(zhǎng)求出BC的長(zhǎng)，求出a的值，如圖2所示，過(guò)A作AQ垂直于BC，求出三角形ABC面積；由a的值確定出B與C坐標(biāo)即可；

（4）如圖3所示，作出D關(guān)于直線BC的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D′，連接AD′，與直線BC交于點(diǎn)E，此時(shí)△ADE周長(zhǎng)最小，求出此時(shí)E坐標(biāo)即可．

解：（1）聯(lián)立得：，

解得：，

則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，4）；

（2）根據(jù)勾股定理得：OA==5，

如圖1所示，分四種情況考慮：

當(dāng)OM1=OA=5時(shí)，M1（0，5）；

當(dāng)OM2=OA=5時(shí)，M2（0，﹣5）；

當(dāng)AM3=OA=5時(shí)，M3（0，8）；

當(dāng)OM4=AM4時(shí)，M4（0，），

綜上，點(diǎn)M為（0，5）、（0，﹣5）、（0，8）、（0，）；

（3）設(shè)點(diǎn)B（a，a），C（a，﹣a+7），

∵BC=OA=×5=14，

∴a﹣（﹣a+7）=14，

解得：a=9，

過(guò)點(diǎn)A作AQ⊥BC，如圖2所示，

∴S△ABC=BCAQ=×14×（9﹣3）=42，

當(dāng)a=9時(shí)，a=×9=12，﹣a+7=﹣9+7=﹣2，

∴點(diǎn)B（9，12）、C（9，﹣2）；

（4）如圖3所示，作出D關(guān)于直線BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′，連接AD′，與直線BC交于點(diǎn)E，連接DE，此時(shí)△ADE周長(zhǎng)最小，

對(duì)于直線y=﹣x+7，令y=0，得到x=7，即D（7，0），

由（3）得到直線BC為直線x=9，

∴D′（11，0），

設(shè)直線AD′解析式為y=kx+b，

把A與D′坐標(biāo)代入得：，

解得：，

∴直線AD′解析式為y=﹣x+，

令x=9，得到y(tǒng)=1，

則此時(shí)點(diǎn)E坐標(biāo)為（9，1）．