Question

如圖所示，已知BC是⊙O的直徑，A、D是⊙O上的兩點(diǎn)．
（1）若∠ACB=58°，求∠ADC的度數(shù)；
（2）當(dāng)=時(shí)，連接CD、AD，其中AD與直徑BC相交于點(diǎn)E，求證：2CD²=CE•BC；
（3）在（2）的條件下，若∠COD=45°，CE=，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)圓周角定理以及三角形內(nèi)角和定理得出∠ADC的度數(shù)；
（2）利用=時(shí)，得出∠COD=∠EDC，即可得出△DCE∽△OCD，進(jìn)而得出2CD²=EC•BC；
（3）根據(jù)（2）中條件得出∠AOC=90°，進(jìn)而得出半徑OB=x，AF=x-1=AO=x，求出x的值，即可得出的值．
解答：解：（1）如圖1，∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BAC=90°，
∵∠ACB=58°，
∴∠B=90°-58°=32°，
∴∠ADC=32°；

（2）如圖2，
∵=，
∴∠COD=∠EDC，
∵∠OCD=∠DCE，
∴△DCE∽△OCD，
∴=，
∴CD²=EC•CO，
∴2CD²=EC•BC；

（3）∵∠COD=45°，∠DAC=∠COD，=，
∴AD平分∠OAC，∠AOC=90°，
如圖3，過點(diǎn)E作EF⊥AC，
由題意可得出：∠BCA=45°，
∵EC=，
∴EF=1，
設(shè)半徑OB=x，AF=x-1=AO=x，
解得：x=+1，
∴BC=2（+1）=2+2，
AB=（+1），
∴==．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出⊙O的半徑是解題關(guān)鍵．