Question

在平面直角坐標(biāo)xOy中，（如圖）正方形OABC的邊長(zhǎng)為4，邊OA在x軸的正半軸上，邊OC在y軸的正半軸上，點(diǎn)D是OC的中點(diǎn)，BE⊥DB交x軸于點(diǎn)E．
（1）求經(jīng)過點(diǎn)D、B、E的拋物線的解析式；
（2）將∠DBE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一定的角度后，邊BE交線段OA于點(diǎn)F，邊BD交y軸于點(diǎn)G，交（1）中的拋物線于M（不與點(diǎn)B重合），如果點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，那么結(jié)論OF=DG能成立嗎？請(qǐng)說明理由；
（3）過（2）中的點(diǎn)F的直線交射線CB于點(diǎn)P，交（1）中的拋物線在第一象限的部分于點(diǎn)Q，且使△PFE為等腰三角形，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）∵BE⊥DB交x軸于點(diǎn)E， OABC是正方形， ∴∠DBC=EBA． 在△BCD與△BAE中， ∵， ∴△BCD≌△BAE， ∴AE=CD． ∵OABC是正方形，OA=4，D是OC的中點(diǎn)， ∴A（4，0），B（4，4），C（0，4）， D（0，2）， ∴E（6，0）． 設(shè)過點(diǎn)D（0，2），B（4，4），E（6，0）的拋物線解析式為y=ax2+bx+c，則有：，解得， ∴經(jīng)過點(diǎn)D、B、E的拋物線的解析式為： y=x2+x+2； （2）結(jié)論OF=DG能成立．理由如下： 由題意，當(dāng)∠DBE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一定的角度后，同理可證得△BCG≌△BAF， ∴AF=CG． ∵xM=， ∴yM=xM2+xM+2=， ∴M（，）． 設(shè)直線MB的解析式為yMB=kx+b， ∵M(jìn)（，），B（4，4）， ∴，解得， ∴yMB=x+6， ∴G（0，6）， ∴CG=2，DG=4． ∴AF=CG=2，OF=OA﹣AF=2，F(xiàn)（2，0）． ∵OF=2，DG=4， ∴結(jié)論OF=DG成立； （3）如圖，△PFE為等腰三角形， 可能有三種情況，分類討論如下： ①若PF=FE． ∵FE=4，BC與OA平行線之間距離為4， ∴此時(shí)P點(diǎn)位于射線CB上， ∵F（2，0）， ∴P（2，4），此時(shí)直線FP⊥x軸， ∴xQ=2， ∴yQ=xQ2+xQ+2=， ∴Q1（2，）； ②若PF=PE．如圖所示， ∵AF=AE=2，BA?FE， ∴△BEF為等腰三角形， ∴此時(shí)點(diǎn)P、Q與點(diǎn)B重合， ∴Q2（4，4）； ③若PE=EF． ∵FE=4，BC與OA平行線之間距離為4， ∴此時(shí)P點(diǎn)位于射線CB上， ∵E（6，0）， ∴P（6，4）． 設(shè)直線yPF的解析式為yPF=kx+b， ∵F（2，0），P（6，4）， ∴，解得， ∴yPF=x﹣2． ∵Q點(diǎn)既在直線PF上，也在拋物線上， ∴x2+x+2=x﹣2， 化簡(jiǎn)得5x2﹣14x﹣48=0， 解得x1=，x2=﹣2（不合題意，舍去） ∴xQ=2， ∴yQ=xQ﹣2=﹣2=． ∴Q3（，）． 綜上所述，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為Q1（2，）或 Q2（4，4）或Q3（，）．