【題目】如圖(1),拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A(x1,0)、B(x2,0)兩點(x1<0<x2),與y軸交于點C(0,-3),若拋物線的對稱軸為直線x=1,且tan∠OAC=3.
(1)求拋物線的函數(shù)解析式;
(2 若點D是拋物線BC段上的動點,且點D到直線BC距離為,求點D的坐標
(3)如圖(2),若直線y=mx+n經(jīng)過點A,交y軸于點E(0, -),點P是直線AE下方拋物線上一點,過點P作x軸的垂線交直線AE于點M,點N在線段AM延長線上,且PM=PN,是否存在點P,使△PMN的周長有最大值?若存在,求出點P的坐標及△PMN的周長的最大值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2)D1(1,-4),D2(2,-3);(3)存在, ,△PMN的周長的最大值是
【解析】試題分析:(1)根據(jù)題意求出A,B兩點坐標,設解析式為交點式,代入點C即可求出;(2)設D(x,x-2x-3),根據(jù)三角形BCD的面積即可求出D點坐標;(3)求出直線AE的表達式,設P(t,t-2t-3),用含t的式子表示出PM=PN的長度,利用∽△AEO表示出MN的長度,從而三角形的周長就可以用含t的二次函數(shù)來表示,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出P的坐標和△PMN的周長的最大值.
試題解析:
(1)在Rt△AOC中,tan∠OAC==3,且OC=3,∴OA=1,A(-1,0).
∵拋物線的對稱軸為直線x=1,
∴由中點坐標公式可求; ,解得x=3.
∴B(3,0).
∴可設拋物線的表達式為:y=a(x-3)(x+1)
將C(0,-3)代入上式中,
∴拋物線表達式為:y=(x-3)(x+1)=x-2x-3.
(3)∵B(3,0)、C(0,-3),
∴BC=
∴
設D(x,x-2x-3),連接OD,
∴
=
=
=.
解得x=1, x=2.
∴D(1,-4),(2,-3).
(3)由A(-1,0)、E(0, )可求:
直線AE的表達式為: .
設P(t,t-2t-3),則
∴.
作PG⊥MN于G,由PM=PN得:MG=NG=MN,
由∽△AEO 有: ,即
∴MG=PM=NG
∴
∴當,有最大值為,此時 .
點睛:此題以二次函數(shù)為背景,綜合考查相似三角形的判定與性質(zhì),三角形的周長,二次函數(shù)的最值,方程思想,函數(shù)思想,轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學知識與數(shù)學思想方法,綜合性較強.本題通過與△AEO之間的相似關系,運用相似三角形的性質(zhì),用函數(shù)關系式表示出△PMN的周長是解答此題的關鍵.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知a、b表示兩個不同點A、B的有理數(shù),且|a|=5,|b|=2,它們在數(shù)軸的位置如圖所示.
(1)試確定a、b的數(shù)值.
(2)表示a、b兩數(shù)的點相距多遠?
(3)若C點在數(shù)軸上,C點到A點的距離是C點到B點距離的3倍,求C點表示的數(shù).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了了解某校300名初三學生的睡眠時間,從中抽取30名學生進行調(diào)查,在這個問題中,下列說法正確的是 ( )
A. 300名學生是總體 B. 300是眾數(shù)
C. 30名學生是抽取的一個樣本 D. 30是樣本的容量
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【題目】為保證中小學生每天鍛煉一小時,某校開展了形式多樣的體育活動項目,小明對某班同學參加鍛煉的情況進行了統(tǒng)計,并繪制了下面的頻率統(tǒng)計表和頻數(shù)分布直方圖.請你根據(jù)圖表信息完成下列各題:
(1)填空: a= ;m= ;n= ;
(2)請將條形統(tǒng)計圖補充完整;
(3)該校共有學生1500人,估計參加乒乓球項目的學生有 人;
運動項目 | 頻數(shù)(人數(shù)) | 頻率 |
籃球 | 20 | 0.40 |
乒乓球 | n | 0.10 |
足球 | 10 | m |
其他 | 15 | 0.30 |
合計 | a | 1.00 |
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【題目】在△ABC中,三邊長滿足b2-a2=c2,則互余的一對角是( )
A. ∠A與∠B B. ∠B與∠C C. ∠A與∠C D. 以上都不正確
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【題目】在平面直角坐標系中,對于平面內(nèi)任一點(a,b),若規(guī)定以下三種變換:
①△(a,b)=(﹣a,b);
②○(a,b)=(﹣a,﹣b);
③Ω(a,b)=(a,﹣b),
按照以上變換例如:△(○(1,2))=(1,﹣2),則○(Ω(3,4))等于 .
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