【題目】如圖,直線 ,且 的距離為1, 的距離為2,等腰 △ABC的頂點分別在直線 , , 上,AB=AC,∠BAC=120° ,則等腰三角形的底邊長為。

【答案】6 , 2 , 2 , 2 .
【解析】解 :此題分四種情況 :①如圖1中,作BF⊥l1于F交l3于H,取BC的中點E,過點E作l4∥l3 , 交FH于點M,連接AE.取AB的中點O,連接OF、OE.

∵AB=AC,BE=EC, ∠BAC=120°,
∴AE⊥BC,∠BAE=60,
∵BF⊥AF,
∴∠AFB=∠AEB=90,
∴OA=OB=OF=OE,
∴A、F. B. E四點共圓,
∴∠BFE=∠BAE=60,
∵l1∥l2∥l3∥l4 , BE=EC,
∴BF=BM=MH=1,
在Rt△EFM中,EM=FMtan60=2
在Rt△BEM中,由勾股定理得:BE=
∴BC=2BE=2
②如圖2中,作BF⊥l3于F交l2于G,取BC的中點E,過點E作l 4∥l1交BF于H ,連接EF,AE,
.

同理可證B. F. A. E四點共圓,
∴∠BFE=∠BAE=60,
∵BE=EC,l1∥l4∥l2 ,
∴BH=HG=
在Rt△EHF中,HE=FHtan60=
在Rt△BEH中,由勾股定理得:BE=
∴BC=2BE=2

③如圖3中,在直線l2取一點A,作AB⊥l2交l3于B,作∠CAB=120,作CE⊥l2于E. 過點A作AD⊥BC于點D,

∵∠CAE=∠CAB∠EAB=12090=30 ,
∴在Rt△ACE中,AC=2EC=2,
∵AB=2,
∴AC=AB,
∴△ABC滿足條件,
∴AB=2,
∵△ABC中 ,∠CAB=120 , AB=AC,AD⊥BC
∴∠ACB=30° ,BC=2CD
∴BC=2CD=2;
④如圖所示 :過點A作AD⊥BC與點D ;∵∵
∵AD⊥BC,AB=AC,∠CAB=120
∴BC=2DB,∠ADB=90°,∠BAD=60°,AD=3,
∴BD=AD·tan60°=3,
∴BC=6;
綜上所述,等腰三角形的底邊長為 , ,,.分四種情形討論:①如圖1中,作BF⊥l1于F交l3于H,取BC的中點E,過點E作l4∥l3 , 連接AE.取AB的中點O,連接OF、OE.首先證明A、F、B、E四點共圓,推出∠BFE=∠BAE=60°,在Rt△EMF中,求出EM,在Rt△BME中求出BE即可解決問題.②如圖2中,作BF⊥l3于F交l2于G,取BC的中點E,過點E作l 4∥l1交BF于H.解法類似①.③如圖3中,在直線l2取一點A,作AB⊥l2交l3于B,作∠CAB=120°,作CE⊥l2于E. 過點A作AD⊥BC于點D, 只要證明△ABC是等腰三角形即可,然后根據(jù)含30°直角三角形的邊之間的關(guān)系得出AD,進(jìn)而利用勾股定理求出UCD,從而得出答案;④過點A作AD⊥BC與點D ,根據(jù)等腰三角形的三線合一得出BC=2DB,根據(jù)平行線間的距離得出AD=3,根據(jù)正切函數(shù)的定義得出BD的長度,進(jìn)而得出BC的長度,綜上所述得出本題答案。

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