【題目】如圖1,矩形ABCD中,AB=4,AD=3,把矩形沿直線AC折疊,使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處,AE交CD于點(diǎn)F,連接DE.
(1)求證:△DEC≌△EDA;
(2)求DF的值;
(3)如圖2,若P為線段EC上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作△AEC的內(nèi)接矩形,使其頂點(diǎn)Q落在線段AE上,定點(diǎn)M、N落在線段AC上,當(dāng)線段PE的長為何值時(shí),矩形PQMN的面積最大?并求出其最大值.
【答案】(1)證明見解析;(2)DF=.(3) PE=時(shí),矩形PQMN的面積最大,最大面積為3.
【解析】試題分析:(1)由矩形和翻折的性質(zhì)可知AD=CE,DC=EA,根據(jù)“SSS”可求得△DEC≌△EDA;
(2)根據(jù)勾股定理即可求得.
(3)由矩形PQMN的性質(zhì)得PQ∥CA,所以,從而求得PQ,由PN∥EG,得出,求得PN,然后根據(jù)矩形的面積公式求得解析式,即可求得.
試題解析:(1)由矩形和翻折的性質(zhì)可知:AD=CE,DC=EA,
在△ADE與△CED中,
∴△DEC≌△EDA(SSS);
(2)如圖1,
∵∠ACD=∠BAC,∠BAC=∠CAE,
∴∠ACD=∠CAE,
∴AF=CF,
設(shè)DF=x,則AF=CF=4-x,
在Rt△ADF中,AD2+DF2=AF2,
即32+x2=(4-x)2,
解得:x=,
即DF=.
(3)如圖2,
由矩形PQMN的性質(zhì)得PQ∥CA
∴
又∵CE=3,AC==5
設(shè)PE=x(0<x<3),則,即PQ=x
過E作EG⊥AC于G,則PN∥EG,
∴
又∵在Rt△AEC中,EGAC=AECE,解得EG=,
∴=,即PN=(3-x),
設(shè)矩形PQMN的面積為S,
則S=PQPN=-x2+4x=-(x-)2+3(0<x<3)
所以當(dāng)x=,即PE=時(shí),矩形PQMN的面積最大,最大面積為3.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,將邊長分別為1、2、3、5、…的若干正方形按一定的規(guī)律拼成不同的長方形,依次記作長方形①、長方形②、長方形③、長方形④,那么按此規(guī)律,長方形⑥的周長為_____.
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【題目】如圖,,,.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿y軸以每秒1個(gè)單位長的速度向上移動(dòng),且過點(diǎn)P的直線l(其解析式為,且直線l與x軸所夾的銳角為45°)也隨之移動(dòng),設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒.
(1)當(dāng)時(shí),求l的解析式;
(2)若點(diǎn)M,N位于l的異側(cè),確定t的取值范圍;
(3)求出t為何值時(shí),點(diǎn)M關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上.
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【題目】如圖,在△ABC中,已知∠CDB=110°,∠ABD=30°.
(1)請(qǐng)用直尺和圓規(guī)在圖中直接作出∠A的平分線AE交BD于E;(不寫作法,保留作圖痕跡)
(2)在(1)的條件下,求出∠AED的度數(shù).
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【題目】為了慶祝即將到來的2017年元旦,某校舉行了書法比賽,賽后整理參賽同學(xué)的成績,并制作成圖表如下:
分?jǐn)?shù)段 | 頻數(shù) | 頻率 |
60≤x<70 | 30 | 0.15 |
70≤x<80 | m | 0.45 |
80≤x<90 | 60 | n |
90≤x≤100 | 20 | 0.1 |
請(qǐng)根據(jù)以上圖表提供的信息,解答下列問題:
(1)這次共調(diào)查了 名學(xué)生;表中的數(shù)m= ,n= ;
(2)請(qǐng)?jiān)趫D中補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;
(3)若繪制扇形統(tǒng)計(jì)圖,分?jǐn)?shù)段60≤x<70所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)是 ;
(4)如果比賽成績?cè)?/span>80分以上(含80分)可獲得獎(jiǎng)勵(lì),那么獲獎(jiǎng)概率是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】.如圖,點(diǎn)A、B、D、E在⊙O上,弦AE、BD的延長線相交于點(diǎn)C.若AB是⊙O的直徑,D是BC的中點(diǎn).
(1)試判斷AB、AC之間的大小關(guān)系,并給出證明;
(2)在上述題設(shè)條件下,當(dāng)△ABC為正三角形時(shí),點(diǎn)E是否AC的中點(diǎn)?為什么?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象過點(diǎn)C(0,1),頂點(diǎn)為Q(2,3),點(diǎn)D在x軸正半軸上,且OD=OC.
(1)求直線CD的解析式;
(2)求拋物線的解析式;
(3)將直線CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°所得直線與拋物線相交于另一點(diǎn)E,求證:△CEQ∽△CDO;
(4)在(3)的條件下,若點(diǎn)P是線段QE上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)F是線段OD上的動(dòng)點(diǎn),問:在P點(diǎn)和F點(diǎn)移動(dòng)過程中,△PCF的周長是否存在最小值?若存在,求出這個(gè)最小值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平行四邊形中,點(diǎn)是對(duì)角線的中點(diǎn),點(diǎn)是上一點(diǎn),且,連接并延長交于點(diǎn),過點(diǎn)作的垂線,垂足為,交于點(diǎn).
(1)求證:;
(2)若,解答下列問題:
①求證:;
②當(dāng)時(shí),求的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,禁止捕魚期間,某海上稽查隊(duì)在某海域巡邏,上午某一時(shí)刻在A處接到指揮部通知,在他們東北方向距離12海里的B處有一艘捕魚船,正在沿南偏東75°方向以每小時(shí)10海里的速度航行,稽查隊(duì)員立即乘坐巡邏船以每小時(shí)14海里的速度沿北偏東某一方向出發(fā),在C處成功攔截捕魚船,求巡邏船從出發(fā)到成功攔截捕魚船所用的時(shí)間.
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