Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣x2+bx+9﹣b2（b為常數(shù)）經(jīng)過坐標原點O，且與x軸交于另一點E．其頂點M在第一象限．

（1）求該拋物線所對應的函數(shù)關系式；
（2）設點A是該拋物線上位于x軸上方，且在其對稱軸左側的一個動點；過點A作x軸的平行線交該拋物線于另一點D，再作AB⊥x軸于點B，DC⊥x軸于點C．
①當線段AB、BC的長都是整數(shù)個單位長度時，求矩形ABCD的周長；
②求矩形ABCD的周長的最大值，并寫出此時點A的坐標；
③當矩形ABCD的周長取得最大值時，它的面積是否也同時取得最大值？請判斷并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意，代入原點到二次函數(shù)解析式

則9﹣b2=0，

解得b=±3，

由題意拋物線的對稱軸大于0，

，

所以b=3，

所以解析式為y=﹣x2+3x

（2）

解：設A點橫坐標為m，則 ＞m＞0，

AB=3m﹣m2，BC=2（ ﹣m）=3﹣2m，

∴矩形ABCD的周長=2（AB+BC）=2（﹣m2+m+3）=﹣2m2+2m+6．

①當線段AB、BC的長都是整數(shù)個單位長度時，則

3m﹣m2＞0且為整數(shù)，3﹣2m＞0且為整數(shù)，

∴m=1．

∴矩形ABCD的周長=﹣2m2+2m+6=6；

②∵矩形ABCD的周長=﹣2m2+2m+6=﹣2（m2﹣m）+6=﹣2（m2﹣m+ ﹣ ）+6=﹣2（m﹣ ）2+ ，

∴當m= 時，有最大值= ，

將m= 代入y=﹣x2+3x得y= ，即A點的縱坐標，

此時點A的坐標為（ ， ）；

③當矩形ABCD的周長取得最大值時，m= ，

此時矩形ABCD的面積=ABBC=（3m﹣m2）（3﹣2m）= ，不是最大值．

∵當m= 時，矩形ABCD的面積=（3m﹣m2）（3﹣2m）=1.6875×1.5=2.53125＞ ．

∴當矩形ABCD的周長取得最大值時，它的面積不能同時取得最大值

【解析】（1）已知拋物線過原點，代入求得b值而求出二次函數(shù)解析式；（2）設A點橫坐標為m，則 ＞m＞0，AB=3m﹣m2 ， BC=3﹣2m，矩形ABCD的周長=﹣2m2+2m+6．①根據(jù)線段AB、BC的長都是整數(shù)個單位長度及 ＞m＞0，確定m的值，從而求出矩形ABCD的周長；②將﹣2m2+2m+6配方，根據(jù)二次函數(shù)的性質，得出矩形ABCD的周長的最大值，并求出此時點A的坐標；③將矩形ABCD的周長取得最大值時的m的值代入它的面積表達式ABBC=（3m﹣m2）（3﹣2m）中，計算出其值為2.5，然后在 ＞m＞0的范圍內(nèi)找到一個m= 時，矩形ABCD的面積=2.53125＞ ，從而得到當矩形ABCD的周長取得最大值時，它的面積不能同時取得最大值．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用二次函數(shù)的圖象的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握二次函數(shù)圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點．