Question

【題目】如圖，直線分別交軸于A、C，點P是該直線與反比例函數在第一象限內的一個交點，PB⊥軸于B，且S△ABP=9．

（1）求證：△AOC∽△ABP；

（2）求點P的坐標；

（3）設點R與點P在同一個反比例函數的圖象上，且點R在直線PB的右側，作RT⊥軸于T，當△BRT與△AOC相似時，求點R的坐標．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）P為（2，3）；（3）R（）或（3，0）

【解析】

（1）由一對公共角相等，一對直角相等，利用兩對角相等的三角形相似即可得證；
（2）先求出點A、C的坐標，設出A（x，0），C（0，y）代入直線的解析式可知；由△AOC∽△ABP，利用線段比求出BP，AB的值從而可求出點P的坐標即可；
（3）把P坐標代入求出反比例函數，設R點坐標為（），根據△BRT與△AOC相似分兩種情況，利用線段比建立方程，求出a的值，即可確定出R坐標．

解：（1）∵∠CAO=∠PAB，∠AOC=∠ABP=90°，

∴△AOC∽△ABP；

（2）設A（x，0），C（0，y）由題意得：

，解得：，
∴A（-4，0），C（0，2），即AO=4，OC=2，
又∵S△ABP=9，
∴ABBP=18，
又∵PB⊥x軸，
∴OC∥PB，
∴△AOC∽△ABP，
∴，即，
∴2BP=AB，
∴2BP2=18，
∴BP2=9，
∴BP=3，
∴AB=6，
∴P點坐標為（2，3）；

（3）設反比例函數為，則，即，

可設R點為（），則RT=，TB=

①要△BRT∽△ACO，則只要，

∴，解得：，

∴；

∴點R的坐標為：（，）；

②若△BRT∽△CAO，則只要，

∴，解得：，

∴，

∴點R的坐標為：（3，2）；

綜合上述可知，點R為：（）或（3，2）.