Question

【題目】如圖，在中，，

（1）作邊的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)（尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）．

（2）在（1）的條件下，連接，判斷線(xiàn)段與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2），詳見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的作法畫(huà)出圖形即可；
（2）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠CAB的度數(shù)，再由線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)求出∠BAE的度數(shù)，進(jìn)而得出∠CAE的度數(shù)，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得出AE=2CE，再由角平分線(xiàn)的性質(zhì)得出CE=DE即可．

（1）如圖所示，D、E就是所求作的點(diǎn)；

（2）BC=3DE，證明如下：

∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°．
∵邊AB的垂直平分線(xiàn)交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，
∴AE=BE，
∴∠BAE=∠B=30°，
∴∠CAE=60°-30°=30°，
∴AE=BE=2CE．
∵∠BAE=∠CAE=30°，
∴AE是∠BAC的平分線(xiàn)，
∴CE=DE，
∴BC=3DE．