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閱讀材料:
在直角坐標系中,已知平面內A(x1,y2)、B(x1,y2)兩點坐標,則A、B兩點之間的距離等于
(x2-x2)2(y2-y1)2

例:說明代數式
x2+1
+
(x-3)2+4
的幾何意義,并求它的最小值.
解:
x2+1
+
(x-3)2+4
=
(x-0)2+(0-1)2
+
(x-3)2+(0-2)2
,如圖,建立平面直角坐標系,點P(x,0)是x軸上一點,則
(x-0)2+(0-1)2
可以看成點P與點A(0,1)的距離,
(x-3)2+(0-2)2
可以看成點P與點B(3,2)的距離,所以原代數式的值可以看成線段PA與PB長度之和,它的最小值就是PA+PB的最小值.
設點A關于x軸的對稱點為A′,則PA=PA′,因此,求PA+PB的最小值,只需求PA′+PB的最小值,而點A′、B間的直線段距離最短,所以PA′+PB的最小值為線段A′B的長度.為此,構造直角三角形A′CB,因為A′C=
3
3
,CB=
3
3
,所以A′B=
3
2
3
2
,即原式的最小值為
3
2
3
2

根據以上閱讀材料,解答下列問題:
(1)完成上述填空.
(2)代數式
(x-i)2+1
+
(x-2)2+9
的值可以看成平面直角坐標系中點P(x,0)與點A(1,1)、點B
(2,3)
(2,3)
的距離之和.(填寫點B的坐標)
(3)求代數式
x2+49
+
x2-12x+37
的最小值.(畫圖計算)
分析:(1)根據B、A′的坐標求出A′C=3,BC=3,由勾股定理求出A′B即可.
(2)
(x-i)2+1
+
(x-2)2+9
=
(x-1)2+(0-1)2
+
(x-2)2+(0-3)2
,即可得出答案.
(3)求出
x2+49
+
x2-12x+37
=
(x-0)2+(0-7)2
+
(x-6)2+(0-1)2
,得出所求代數式的值可以看成平面直角坐標系中點P(x,0)與點A(0,7)、點B(6,1)的距離之和,作A關于x軸的對稱點為A′,求出A′B即可.
解答:解:(1)∵B(3,2),A′(0,-1),
∴A′C=3,BC=2-(-1)=3,
由勾股定理得:A′B=
32+32
=3
2
,
即原式的最小值是3
2

故答案為:3,3,3
2
,3
2


(2)∵
(x-i)2+1
+
(x-2)2+9
=
(x-1)2+(0-1)2
+
(x-2)2+(0-3)2

∴代數式
(x-i)2+1
+
(x-2)2+9
的值可以看成平面直角坐標系中點P(x,0)與點A(1,1)、點B(2,3)的距離之和,
故答案為:(2,3).

(3)
x2+49
+
x2-12x+37
=
x2+72
+
(x-6)2+12
=
(x-0)2+(0-7)2
+
(x-6)2+(0-1)2
,
即所求代數式的值可以看成平面直角坐標系中點P(x,0)與點A(0,7)、點B(6,1)的距離之和,
如圖所示,
∵設A關于x軸的對稱點為A′,則PA=PA′,
∴PA+PB的最小值,只需求PA′+PB的最小值,而點A′、B間的距離最短,
∴PA′+PB的最小值為線段A′B的長度,
∵A(0,7),B(6,1),
∴A′,-7),
∴A′C=6,BC=8,
由勾股定理得:A′B=
62+82
=10,
即代數式
x2+49
+
x2-12x+37
的最小值是10.
點評:本題考查了勾股定理,軸對稱-最短路線問題的應用,主要考查學生的閱讀理解能力和計算能力..
練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數學 來源: 題型:閱讀理解

結合所給的閱讀材料,求解問題.
材料:在直角坐標系中,如果有兩點A(a,b),B(a,0),那么稱點B是點A在x軸上的射影.
問題:如圖,測得飛機的運動曲線是雙曲線,飛機在點M的坐標為(-4500
3
,1125),炮彈在點O處沿α角向飛機射擊,在點N處命中目標,此時點N在x軸上的射影坐標精英家教網為(-2250
3
,0),已知α=30°,炮彈飛行速度為750米/秒.
問:炮彈從發(fā)射到擊中目標用了多少時間?

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科目:初中數學 來源: 題型:閱讀理解

閱讀材料:在直角三角形中,30°所對的直角邊是斜邊的一半.
如圖,把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐標系中,A,B兩點坐標分別為
(3,0)和(0,3
3
).動點P從A點開始沿折線AO-OB-BA運動,點P在AO,OB,BA上運動,速度分別為1,
3
,2(單位長度/秒).一直尺的上邊緣l從x軸的位置開始以
3
3
(單位長度/秒)的速度向上平行移動(即移動過程中保持l∥x軸),且分別與OB,AB交于E,F兩點﹒設動點P與動直線l同時出發(fā),運動時間為t秒,當點P沿折線AO-OB-BA運動一周時,直線l和動點P同時停止運動.
請解答下列問題:
(1)過A,B兩點的直線解析式是
y=-
3
x+3
3
y=-
3
x+3
3

(2)當t﹦4時,點P的坐標為
(0,
3
(0,
3
;當t=
9
2
9
2
,點P與點E重合;
(3)作點P關于直線EF的對稱點P′.在運動過程中,若形成的四邊形PEP′F為菱形,則t的值是多少?

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科目:初中數學 來源:浙江省期中題 題型:填空題

閱讀材料:在直角三角形中,30°所對的直角邊是斜邊的一半.如圖,把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐標系中,A,B兩點坐標分別為(3,0)和(0, ).動點P從A點開始沿折線AO﹣OB﹣BA運動,點P在AO,OB,BA上運動的面四民﹒數學興趣小組對捐款情況進行了抽樣調查,速度分別為1, ,2(單位長度/秒).一直尺的上邊緣l從x軸的位置開始以 (單位長度/秒)的速度向上平行移動(即移動過程中保持l∥x軸),且分別與OB,AB交于E,F兩點﹒設動點P與動直線l同時出發(fā),運動時間為t秒,當點P沿折線AO﹣OB﹣BA運動一周時,直線l和動點P同時停止運動.
請解答下列問題:
(1)過A,B兩點的直線解析式是_____________;
(2)當t﹦4時,點P的坐標為________________ ;當t=____________   ,點P與點E重合;
(3)作點P關于直線EF的對稱點P′.在運動過程中,若形成的四邊形PEP′F為菱形,則t的值是多少?

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科目:初中數學 來源:2011-2012學年浙江省臺州市玉環(huán)縣實驗學校九年級(上)期中數學試卷(解析版) 題型:解答題

閱讀材料:在直角三角形中,30°所對的直角邊是斜邊的一半.
如圖,把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐標系中,A,B兩點坐標分別為
(3,0)和(0,).動點P從A點開始沿折線AO-OB-BA運動,點P在AO,OB,BA上運動,速度分別為1,,2(單位長度/秒).一直尺的上邊緣l從x軸的位置開始以(單位長度/秒)的速度向上平行移動(即移動過程中保持l∥x軸),且分別與OB,AB交于E,F兩點﹒設動點P與動直線l同時出發(fā),運動時間為t秒,當點P沿折線AO-OB-BA運動一周時,直線l和動點P同時停止運動.
請解答下列問題:
(1)過A,B兩點的直線解析式是______

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