Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是反比例函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，以P為圓心，PO為半徑的圓與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A、B.

（1）求證：線段AB為⊙P的直徑；
（2）求△AOB的面積；
（3）如圖2，Q是反比例函數(shù)圖象上異于點(diǎn)P的另一點(diǎn)，以Q為圓心，QO為半徑畫圓與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)C、D，求證：DO·OC=BO·OA．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）24；（3）證明見解析.

試題分析：（1）∠AOB=90°，由圓周角定理的推論，可以證明AB是⊙P的直徑；（2）將△AOB的面積用含點(diǎn)P坐標(biāo)的表達(dá)式表示出來，容易計(jì)算出結(jié)果；（3）對(duì)于反比例函數(shù)上另外一點(diǎn)Q，⊙Q與坐標(biāo)軸所形成的△COD的面積，依然不變，與△AOB的面積相等.
試題解析：（1）∵∠AOB=90°，且∠AOB是⊙P中弦AB所對(duì)的圓周角，
∴AB是⊙P的直徑.
（2）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，n）（m＞0，n＞0），
∵點(diǎn)P是反比例函數(shù)（x＞0）圖象上一點(diǎn)，∴mn=12.
如圖，過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，PN⊥y軸于點(diǎn)N，則OM=m，ON=n．
由垂徑定理可知，點(diǎn)M為OA中點(diǎn)，點(diǎn)N為OB中點(diǎn)，
∴OA=2OM=2m，OB=2ON=2n.
∴.

（3）若點(diǎn)Q為反比例函數(shù)（x＞0）圖象上異于點(diǎn)P的另一點(diǎn)，
參照（2），同理可得：.
∴，即.
∴DO•OC=BO•OA.