Question

已知：在四邊形ABCD中，AB=1，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)，且AE=BF=CG=DH．設(shè)四邊形EFGH的面積為S，AE=x（0≤x≤1）．
（1）如圖1，當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)，
①求S關(guān)于x的函數(shù)解析式，并在圖2中畫出函數(shù)的草圖；
②當(dāng)x為何值時(shí)，S=

5

8

？
（2）如圖3，當(dāng)四邊形ABCD為菱形，且∠A=30°時(shí)，四邊形EFGH的面積能否等于

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？若能，求出相應(yīng)x的值；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）①當(dāng)四邊形ABCD是正方形時(shí)，不難得出△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，因此四邊形HEFG也是個(gè)正方形．直角三角形AHE中，AE=x，AH=1-x，那么可根據(jù)勾股定理求出HE²的值，即為S的值．由此可得出S，x的函數(shù)關(guān)系式．
②可將S=

5

8

代入①的函數(shù)關(guān)系式中，即可得出x的值．
（2）與（1）類似不難得出△AEH≌△CGF，△EBF≌△GDH，因此只需求出△AEH和△EFB的面積，就可以用S_?ABCD-（S_△AEH+S_△EFB）×2來求出四邊形EFGH的面積．
可分別過H，F(xiàn)作AB的垂線，根據(jù)∠A的度數(shù)來求出這兩條高，進(jìn)而可根據(jù)上面分析的步驟求出S，x的函數(shù)關(guān)系式，然后將S=

5

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代入函數(shù)關(guān)系式中，可得出一個(gè)關(guān)于x的方程，如果方程無(wú)解則說明不存在這樣的情況，如果有解，那么得出的x的值就是所求的值．

解答：解：（1）①在Rt△AEH中，AE=x，AH=1-x，
則S=HE²=x²+（1-x）²=2x²-2x+1=2（x-

1

2

）²+

1

2

．
②根據(jù)題意，得2（x-

1

2

）²+

1

2

=

5

8

．
解方程，得x=

1

4

，x=

3

4

．
即得x=

1

4

，x=

3

4

．時(shí)，S=

5

8

．

（2）四邊形EFGH的面積可以等于

5

16

．
由條件，易證△AEH≌△CGF，△EBF≌△GDH．
作HM⊥AE于M，作FN⊥EB且FN交EB的延長(zhǎng)線于N，
∵AE=x，則AH=1-x，
又在Rt△AMH中，∠HAM=30°，
∴HM=

1

2

AH=

1

2

（1-x）．
同理得FN=

1

2

BF=

1

2

x．
∴S_△AEH=

1

2

AE•HM=

1

4

x（1-x），S_△EBF=

1

2

EB•FN=

1

4

x（1-x）．
又∵S_ABCD=

1

2

，
∴四邊形EFGH的面積S=

1

2

-4

1

4

x（1-x）=x²-x+

1

2

．
∴令x²-x+

1

2

=

5

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，
解得x=

1

4

，x=

3

4

．
即x=

1

4

，x=

3

4

時(shí)，四邊形EFGH的面積等于

5

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正方形和平行四邊形的性質(zhì)、二次函數(shù)的應(yīng)用、圖形面積的求法等知識(shí)點(diǎn)．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法是解題的基本思路．