Question

如圖甲,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)M是BC的中點(diǎn),P是線段MC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不運(yùn)動(dòng)至M,C),以AB為直徑作⊙O,過(guò)點(diǎn)P的切線交AD于點(diǎn)F,切點(diǎn)為E。

(1)求四邊形CDFP的周長(zhǎng)；(3分)
(2)請(qǐng)連結(jié)OF,OP,求證：OF⊥OP；(4分)
(3)延長(zhǎng)DC,FP相交于點(diǎn)G,連結(jié)OE并延長(zhǎng)交直線DC于H(如圖乙).是否存在點(diǎn)P
使△EFO∽△EHG(其對(duì)應(yīng)關(guān)系是                              )?如果存在,試求此時(shí)的BP的長(zhǎng)；如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。(5分)

Answer 1

（1）6（2）證明見解析（3）存在，

解：(1)∵四邊形ABCD是正方形   ∴∠A=∠B=Rt∠ ∴AF、BP都是⊙O的切線  (1分)
又∵PF是⊙O的切線  ∴EF=FA,PE=PB  ∴四邊形CDFP的周長(zhǎng)為AD+DC+CB=2×3="6" (3分)
(2)∴連結(jié)OE,∵PF是⊙O的切線 ∴OE⊥PF .
在Rt⊿AOF和Rt⊿EOF中∵AO=EO,OF=OF ∴Rt⊿AOF∽R(shí)t⊿EOF∴∠AOF=∠EOF(5分)
同理∠BOP=∠EOP ∴∠EOF+∠EOP=1/2×180°=90°∴∠EOP=90°即OF⊥OP   (7分)
(3)存在(如果這一步不寫,但下面各步驟都正確,不扣分)  (8分)
∵∠EOF=∠AOF ∴∠EHG=∠AOE=2∠EOF,
∴當(dāng)∠EHG=∠AOE=2∠EOF,即∠EOF=30°時(shí)   Rt⊿EOF∽R(shí)t⊿EHG   (10分)
此時(shí)∠EOF=30°,∠BOP=∠EOP=90°－30°=60°
∴BP=OB·tan60°=  (12分)
（1）根據(jù)切線的性質(zhì)，將所求四邊形CDFP的邊轉(zhuǎn)化為已知正方形ABCD的邊，即可求得；
（2）連結(jié)OE，根據(jù)切線的性質(zhì)和相似三角形，求得∠EOP=90°，即可求得OF⊥OP；
（3）要△EFO∽△EHG，必須∠EHG=∠EFO=2∠EOF=60°，在直角△OBP中，由正切定理可求出BP的長(zhǎng)．