Question

【題目】如圖，已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，AC＝AE＝3，BC＝4，過(guò)點(diǎn)A作AB的垂線交射線EC于點(diǎn)D，延長(zhǎng)BC交AD于點(diǎn)F．

(1)求CF的長(zhǎng)；

(2)求∠D的正切值．

Answer 1

【答案】(1)CF＝；(2)tanD＝．

【解析】

（1）證明△ABC∽△FAC，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可.

（2）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，由余角的性質(zhì)可知∠D=∠ECH，先由勾股定理求出AB的長(zhǎng)，再根據(jù)面積法求出CH的長(zhǎng)，再由勾股定理求出AH的長(zhǎng)，繼而可求出HE的長(zhǎng)，然后根據(jù)正切的定義求解即可.

(1)∵∠ACB＝90°，

∴∠ACF＝∠ACB＝90°，∠B+∠BAC＝90°，

∵AD⊥AB，

∴∠BAC+∠CAF＝90°，

∴∠B＝∠CAF，

∴△ABC∽△FAC，

∴，即，

解得CF＝；

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，

∵∠D+∠AED=90°, ∠ECH+∠AED=90°,

∴∠D=∠ECH.

∵AC＝3，BC＝4，

∴AB＝5，

則CH＝，

∴AH＝＝，EH＝AE﹣AH＝，

∴tanD＝tan∠ECH＝．