【題目】如圖1,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,∠ABC的平分線BE交AC于E.
(1)求證:AE=BC;
(2)如圖(2),過點E作EF∥BC交AB于F,將△AEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)角α(0°<α<144°)得到△AE′F′,連結(jié)CE′,BF′,求證:CE′=BF′;
(3)在(2)的旋轉(zhuǎn)過程中是否存在CE′∥AB?若存在,求出相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角α;若不存在,請說明理由.
【答案】解:(1)證明:∵AB=BC,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=72°。
又∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE=36°。
∴∠BEC=180°﹣∠C﹣∠CBE=72°。∴∠ABE=∠A,∠BEC=∠C。
∴AE=BE,BE=BC。∴AE=BC。
(2)證明:∵AC=AB且EF∥BC,∴AE=AF;
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知:∠E′AC=∠F′AB,AE′=AF′,
∵在△CAE′和△BAF′中, ,
∴△CAE′≌△BAF′。∴CE′=BF′。
(3)存在CE′∥AB。
由(1)可知AE=BC,所以,在△AEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)過程中,E點經(jīng)過的路徑(圓。┡c過點C且與AB平行的直線l交于M、N兩點,
如圖:①當(dāng)點E的像E′與點M重合時,則四邊形ABCM為等腰梯形,
∴∠BAM=∠ABC=72°,又∠BAC=36°。
∴α=∠CAM=36°。
②當(dāng)點E的像E′與點N重合時,
由AB∥l得,∠AMN=∠BAM=72°,
∵AM=AN,∴∠ANM=∠AMN=72°。
∴∠MAN=180°﹣2×72°=36°。
∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=72°。
∴當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為36°或72°時,CE′∥AB。
【解析】試題分析:(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)得出對應(yīng)角之間的關(guān)系進(jìn)而得出答案;(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知:∠E′AC=∠F′AB,AE′=AF′,根據(jù)全等三角形證明方法得出即可;(3)分別根據(jù)①當(dāng)點E的像E′與點M重合時,則四邊形ABCM為等腰梯形,②當(dāng)點E的像E′與點N重合時,求出α即可.
試題解析:(1)證明:∵AB=BC,∠A=36°,
∴∠ABC=∠C=72°,
又∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE=36°,
∴∠BEC=180°﹣∠C﹣∠CBE=72°,
∴∠ABE=∠A,∠BEC=∠C,
∴AE=BE,BE=BC,
∴AE=BC.
(2)證明:∵AC=AB且EF∥BC,
∴AE=AF;
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知:∠E′AC=∠F′AB,AE′=AF′,
∵在△CAE′和△BAF′中
,
∴△CAE′≌△BAF′,
∴CE′=BF′.
(3)存在CE′∥AB,
理由:由(1)可知AE=BC,所以,在△AEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)過程中,E點經(jīng)過的路徑(圓弧)與過點C且與AB平行的直線l交于M、N兩點,
如圖:①當(dāng)點E的像E′與點M重合時,則四邊形ABCM為等腰梯形,
∴∠BAM=∠ABC=72°,又∠BAC=36°,
∴α=∠CAM=36°.
②當(dāng)點E的像E′與點N重合時,
由AB∥l得,∠AMN=∠BAM=72°,
∵AM=AN,
∴∠ANM=∠AMN=72°,
∴∠MAN=180°﹣2×72°=36°,
∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=72°.
所以,當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為36°或72°時,CE′∥AB.
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【題目】如圖,菱形的邊軸,垂足為點,頂點在第二象限,頂點在軸的正半軸上,反比例函數(shù) (,)的圖像同時經(jīng)過頂點、,若點的橫坐標(biāo)為1,.則的值為( )
A.B.3C.D.5
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【題目】菱形的周長為16,兩鄰角度數(shù)的比為1:2,此菱形的面積為 .
【答案】8 .
【解析】如圖,由題意可知,在菱形ABCD中,∠A+∠ADC=180°,∠A:∠ADC=1:2,AD=AB=,
∴∠A=60°,
過點D作DE⊥AB于點E,則∠DEA=90°,
∴∠ADE=30°,
∴AE=AD=2,
∴DE=,
∴S菱形ABCD=ABDE=.
【題型】填空題
【結(jié)束】
15
【題目】為了估計湖里游多少條魚,有下列方案:從湖里捕上100條做上標(biāo)記,然后放回湖里去,經(jīng)過一段時間,待帶標(biāo)記的魚完全混合于魚群后,第二次再捕上200條,若其中帶標(biāo)記的魚有25條,那么你估計湖里大約有 條魚.
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【題目】有一張三角形紙片ABC,∠A=80°,點D是AC邊上一點,沿BD方向剪開三角形紙片后,發(fā)現(xiàn)所得兩張紙片均為等腰三角形,則∠C的度數(shù)可以是__________.
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【題目】“龜兔賽跑”的故事同學(xué)們都非常熟悉,圖中的線段和折線表示“龜兔賽跑”時路程與時間的關(guān)系.請你根據(jù)圖中給出的信息,解決下列問題.
(1)填空:折線表示賽跑過程中__________的路程與時間的關(guān)系,線段表示賽跑過程中__________的路程與時間的關(guān)系;
(2)兔子在起初每分鐘跑多少千米?烏龜每分鐘爬多少米?
(3)兔子醒來后,以48千米/時的速度跑向終點,結(jié)果還是比烏龜晚到了0.5分鐘,請你算算兔子在途中一共睡了多少分鐘?
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【題目】如圖,把一副三角板如圖甲放置,其中∠ACB=DEC=90°,∠A=45°,∠D=30°,AB=6cm,DC=7cm.把三角板DCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)15°得到△D′CE′,如圖乙,這時AB與CD′相交于點O,D′E′與AB、CB分別相交于點F、G,連接AD′.
(1)求∠OFE′的度數(shù);
(2)求線段AD′的長.
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【題目】如圖,△ABC 中,點 E,F,G 分別在 BC,AC,AB 上,AE 與 BF 交于點 O,且點 O 在 CG 上,根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡,判斷下列說法不正確的是( )
A.AE,BF 是△ABC 的角平分線B.點 O 到△ABC 三邊的距離相等
C.CG 也是△ABC 的一條角平分線D.AO=BO=CO
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【題目】如圖,拋物線與x軸交與A(1,0),B(- 3,0)兩點
(1)求該拋物線的解析式;
(2)設(shè)(1)中的拋物線交y軸與C點,在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q,使得△QAC的周長最。咳舸嬖,求出Q點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖, ⊙O 的半徑是2,直線l與⊙O 相交于A、B 兩點,M、N 是⊙O 上的兩個動點,且在直線l的異側(cè),若∠AMB=45°,則四邊形MANB 面積的最大值是 .
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