【題目】如圖(1)所示,△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分線(xiàn)交于點(diǎn)O,求證:∠BOC=90+∠A.
變式1:如圖(2)所示,∠ABC,∠ACD的平分線(xiàn)交于點(diǎn)O,求證:∠BOC=∠A.
變式2:如圖(3)所示,∠CBD,∠BCE的平分線(xiàn)交于點(diǎn)O,求證:∠BOC=90-∠A.
【答案】見(jiàn)解析
【解析】
(1)先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB,則2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB,再根據(jù)角平分線(xiàn)的定義得∠ABC=2∠OBC,∠ACB=2∠OCB,則2∠BOC=360°-∠ABC-∠ACB,易得∠BOC=90°+∠A;
變式1:根據(jù)BD為△ABC的角平分線(xiàn),CD為△ABC外角∠ACE的平分線(xiàn),由三角形外角性質(zhì)可得;∠2=∠1+∠O,∠ACO=∠2=∠ACD=(∠A+∠ABC)=(∠A+2∠1) =∠A+∠1,兩式聯(lián)立可得 ∠1+∠O = ∠A+∠1,即∠BOC=∠A.
變式2:根據(jù)三角形外角平分線(xiàn)的性質(zhì)可得∠BCO= (∠A+∠ABC)、∠OBC= (∠A+∠ACB);根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠BOC=90-∠A..
(1)證明:在△BOC中,
∵∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB,
∴2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB,
∵BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,
∴∠ABC=2∠OBC,∠ACB=2∠OCB,
∴2∠BOC=360°-(∠ABC+∠ACB),
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A,
∴2∠BOC=180°+∠A,
∴∠BOC=90°+∠A;
變式1:∵BD為△ABC的角平分線(xiàn),CD為△ABC外角∠ACE的平分線(xiàn),
∴ ∠1= ∠ABC ∠ACO=∠2=∠ACD
∵∠2、∠ACO分別是△BCO、△ABC的外角
∴∠2=∠1+∠O,∠ACO=∠2=∠ACD=(∠A+∠ABC)=(∠A+2∠1) =∠A+∠1,
∴ ∠1+∠O = ∠A+∠1,
∴∠BOC=∠A.
變式2:∵BO、CO為△ABC中∠ABC、∠ACB的外角平分線(xiàn).
∴∠BCO= (∠A+∠ABC)、∠OBC= (∠A+∠ACB),
由三角形內(nèi)角和定理得,∠BOC=180°-∠BCO-∠OBC,
=180°- [∠A+(∠A+∠ABC+∠ACB)],
=180°- (∠A+180°),
=90°- ∠A;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若點(diǎn)P和點(diǎn)P1關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),點(diǎn)P1和點(diǎn)P2關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng),則稱(chēng)點(diǎn)P2是點(diǎn)P關(guān)于y軸,直線(xiàn)l的二次對(duì)稱(chēng)點(diǎn).
(1)如圖1,點(diǎn)A(﹣1,0).
①若點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于y軸,直線(xiàn)l1:x=2的二次對(duì)稱(chēng)點(diǎn),則點(diǎn)B的坐標(biāo)為;
②若點(diǎn)C(﹣5,0)是點(diǎn)A關(guān)于y軸,直線(xiàn)l2:x=a的二次對(duì)稱(chēng)點(diǎn),則a的值為;
③若點(diǎn)D(2,1)是點(diǎn)A關(guān)于y軸,直線(xiàn)l3的二次對(duì)稱(chēng)點(diǎn),則直線(xiàn)l3的表達(dá)式為;
(2)如圖2,⊙O的半徑為1.若⊙O上存在點(diǎn)M,使得點(diǎn)M'是點(diǎn)M關(guān)于y軸,直線(xiàn)l4:x=b的二次對(duì)稱(chēng)點(diǎn),且點(diǎn)M'在射線(xiàn)y= x(x≥0)上,b的取值范圍是;
(3)E(t,0)是x軸上的動(dòng)點(diǎn),⊙E的半徑為2,若⊙E上存在點(diǎn)N,使得點(diǎn)N'是點(diǎn)N關(guān)于y軸,直線(xiàn)l5:y= x+1的二次對(duì)稱(chēng)點(diǎn),且點(diǎn)N'在y軸上,求t的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是某電視塔周?chē)慕ㄖ浩矫媸疽鈭D,這個(gè)電視塔的位置用A表示.某人由點(diǎn)B出發(fā)到電視塔,他的路徑表示錯(cuò)誤的是(注:街在前,巷在后)( )
A. (2,2)→(2,5)→(5,6) B. (2,2)→(2,5)→(6,5)
C. (2,2)→(6,2)→(6,5) D. (2,2)→(2,3)→(6,3)→(6,5)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“五一”期間,小明一家乘坐高鐵前往某市旅游,計(jì)劃第二天租用新能源汽車(chē)自駕出游。
[來(lái)
根據(jù)以上信息,解答下列問(wèn)題:
(1)設(shè)租車(chē)時(shí)間為小時(shí),租用甲公司的車(chē)所需費(fèi)用為元,租用乙公司的車(chē)所需費(fèi)用為元,分別求出,關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式;
(2)請(qǐng)你幫助小明計(jì)算并選擇哪個(gè)出游方案合算。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在8×8的方格紙中,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)和點(diǎn)P都在小方格的頂點(diǎn)上. 按下列要求畫(huà)出圖形:
(1)在圖1中過(guò)點(diǎn)P畫(huà)直線(xiàn)l∥BC;
(2)在圖2中將△ABC平移,使點(diǎn)P落在平移后的△A1B1C1的內(nèi)部,且△A1B1C1的三個(gè)頂點(diǎn)均在小方格的頂點(diǎn)上,請(qǐng)畫(huà)出其中一個(gè)△A1B1C1;
(3)在圖3中將△ABC平移,使△ABC的一個(gè)頂點(diǎn)與點(diǎn)P重合,請(qǐng)畫(huà)出其中一個(gè)△A2B2C2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線(xiàn)AB交雙曲線(xiàn) 于A,B兩點(diǎn),交x軸于點(diǎn)C,且BC= AB,過(guò)點(diǎn)B作BM⊥x軸于點(diǎn)M,連結(jié)OA,若OM=3MC,S△OAC=8,則k的值為多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠ACB=30°,其直角邊分別與坐標(biāo)軸垂直,已知頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A(,0),C(0,1).
(1)如果A關(guān)于BC對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)是D,則點(diǎn)D的坐標(biāo)為 ;
(2)過(guò)點(diǎn)B作直線(xiàn)m∥AC,交CD連線(xiàn)于E,求△BCE的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC的三條角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)I,過(guò)點(diǎn)I作DI⊥IC,交AC于點(diǎn)D.
(1)如圖①,求證:∠AIB=∠ADI;
(2)如圖②,延長(zhǎng)BI,交外角∠ACE的平分線(xiàn)于點(diǎn)F.
①判斷DI與CF的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;
②若∠BAC=70°,求∠F的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,△ABC中,∠ACB=45°,AD⊥BC于D,CF交AD于點(diǎn)F,連接BF并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E,∠BAD=∠FCD.求證:
(1)△ABD≌△CFD;
(2)BE⊥AC.
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