Question

【題目】如圖，矩形ABCD的邊AB=3cm，AD=4cm，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線AD移動(dòng)，以CE為直徑作圓O，點(diǎn)F為圓O與射線BD的公共點(diǎn)，連接EF、CF，過點(diǎn)E作EG⊥EF，EG與圓O相交于點(diǎn)G，連接CG．
（1）試說明四邊形EFCG是矩形；
（2）當(dāng)圓O與射線BD相切時(shí)，點(diǎn)E停止移動(dòng)，在點(diǎn)E移動(dòng)的過程中， ①矩形EFCG的面積是否存在最大值或最小值？若存在，求出這個(gè)最大值或最小值；若不存在，說明理由；
②求點(diǎn)G移動(dòng)路線的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1，

∵CE為⊙O的直徑，

∴∠CFE=∠CGE=90°．

∵EG⊥EF，

∴∠FEG=90°．

∴∠CFE=∠CGE=∠FEG=90°．

∴四邊形EFCG是矩形．

（2）解：①存在．

連接OD，如圖2①，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=∠ADC=90°．

∵點(diǎn)O是CE的中點(diǎn)，

∴OD=OC．

∴點(diǎn)D在⊙O上．

∵∠FCE=∠FDE，∠A=∠CFE=90°，

∴△CFE∽△DAB．

∴ =（ ）2．

∵AD=4，AB=3，

∴BD=5，

S△CFE=（ ）2S△DAB

= × ×3×4

= ．

∴S矩形EFCG=2S△CFE

= ．

∵四邊形EFCG是矩形，

∴FC∥EG．

∴∠FCE=∠CEG．

∵∠GDC=∠CEG，∠FCE=∠FDE，

∴∠GDC=∠FDE．

∵∠FDE+∠CDB=90°，

∴∠GDC+∠CDB=90°．

∴∠GDB=90°

Ⅰ．當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A（E′）處時(shí)，點(diǎn)F在點(diǎn)B（F′）處，點(diǎn)G在點(diǎn)D（G′）處，如圖2①所示．

此時(shí)，CF=CB=4．

Ⅱ．當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)D（F″）處時(shí)，直徑F″G″⊥BD，

如圖2②所示，

此時(shí)⊙O與射線BD相切，CF=CD=3．

Ⅲ．當(dāng)CF⊥BD時(shí)，CF最小，

如圖2③所示．

S△BCD= BCCD= BDCF

∴4×3=5×CF

∴CF= ．

∴ ≤CF≤4．

∵S矩形EFCG= ，

∴ ×（ ）2≤S矩形EFCG≤ ×42．

∴ ≤S矩形EFCG≤12．

∴矩形EFCG的面積最大值為12，最小值為 ．

②∵∠GDC=∠FDE=定值，點(diǎn)G的起點(diǎn)為D，終點(diǎn)為G″，如圖2②所示，

∴點(diǎn)G的移動(dòng)路線是線段DG″．

∵∠G″DC=∠BDA，∠DCG″=∠A=90°，

∴△DCG″∽△DAB．

∴ = ．

∴ = ．

∴DG″= ．

∴點(diǎn)G移動(dòng)路線的長為 ．

【解析】（1）只要證到三個(gè)內(nèi)角等于90°即可．（2）易證點(diǎn)D在⊙O上，根據(jù)圓周角定理可得∠FCE=∠FDE，從而證到△CFE∽△DAB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得到S矩形EFCG=2S△CFE= ．然后只需求出CF的范圍就可求出S矩形EFCG的范圍．根據(jù)圓周角定理和矩形的性質(zhì)可證到∠GDC=∠FDE=定值，從而得到點(diǎn)G的移動(dòng)的路線是線段，只需找到點(diǎn)G的起點(diǎn)與終點(diǎn)，求出該線段的長度即可．