Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）交x軸于點(diǎn)A（2，0），B（﹣3，0），交y軸于點(diǎn)C，且經(jīng)過點(diǎn)d（﹣6，﹣6），連接AD，BD．

（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若點(diǎn)M為X軸上方的拋物線上一點(diǎn)，能否在點(diǎn)A左側(cè)的x軸上找到另一點(diǎn)N，使得△AMN與△ABD相似？若相似，請求出此時(shí)點(diǎn)M、點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）若點(diǎn)P是直線AD上方的拋物線上一動點(diǎn)（不與A，D重合），過點(diǎn)P作PQ∥y軸交直線AD于點(diǎn)Q，以PQ為直徑作⊙E，則⊙E在直線AD上所截得的線段長度的最大值等于　 　．（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（1）；（2） 或 ，點(diǎn) 或 或（﹣3，0）或 ；（3） .

【解析】

（1）用交點(diǎn)式函數(shù)表達(dá)式得：y＝a（x﹣2）（x+3），將點(diǎn)D坐標(biāo)代入上式即可求解；

（2）分∠MAB＝∠BAD、∠MAB＝∠BDA，兩種大情況、四種小情況，分別求解即可；

（3）QH＝PHcos∠PQH＝，即可求解．

解：（1）用交點(diǎn)式函數(shù)表達(dá)式得：y＝a（x﹣2）（x+3），

將點(diǎn)D坐標(biāo)代入上式并解得：a＝，

故函數(shù)的表達(dá)式為：y＝…①，

則點(diǎn)C（0，）；

（2）由題意得：AB＝5，AD＝10，BD＝3 ，

①當(dāng)∠MAB＝∠BAD時(shí)，

當(dāng)∠NMA＝∠ABD時(shí)，△AMN∽△ABD，

則tan∠MAB＝tan∠BAD＝，

則直線MA的表達(dá)式為：y＝﹣x+b，

將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入上式并解得：b＝，

則直線AM的表達(dá)式為：y＝﹣x+…②，

聯(lián)立①②并解得：x＝0或2（舍去2），

即點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，則點(diǎn)M（0，2），則AM＝2，

∵△AMN∽△ABD，∴，解得：AN＝4，

故點(diǎn)N（2﹣4，0）；

當(dāng)∠MN′A＝∠ABD時(shí)，△ANM∽△ABD，

同理可得：點(diǎn)N′（2﹣，0），

即點(diǎn)M（0，），點(diǎn)N（2﹣4，0）或（2﹣，0）；

②當(dāng)∠MAB＝∠BDA時(shí)，

同理可得：點(diǎn)M（﹣1，），點(diǎn)N（﹣3，0）或（﹣，0）；

故：點(diǎn)M（0，）或（﹣1，）， 點(diǎn)N（2﹣4，0）或（2﹣，0）或（﹣3，0）或（﹣，0）；

（3）如圖所示，連接PH，

由題意得：tan∠PQH＝，則cos∠PQH＝，

則直線BD的表達(dá)式為：y＝x﹣，

設(shè)點(diǎn)P（x，），則點(diǎn)H（x，），

則QH＝PHcos∠PQH＝PH＝）＝，

∵＜0，故QH有最大值，當(dāng)x＝﹣2時(shí)，其最大值為．