Question

如圖，已知BC是⊙O的直徑，P是⊙O上一點，A是

BP

的中點，AD⊥BC于點D，BP與AD相交于點E，若∠ACB=36°，BC=10．
（1）求

AB

的長；
（2）求證：AE=BE．

Answer 1

分析：（1）要求

AB

的長，就要連接OA，求出圓心角，利用弧長公式計算；
（2）連接AB，點A是

BP

的中點，所以

BA

=

AP

，則利用等弧所對的圓周角相等可得∠C=∠ABP．在Rt△ABD和Rt△ADC中，利用同一角的余角相等可得∠BAD=∠C，則∠ABP=∠BAD，所以AE=BE．

解答：（1）解：連接OA，∵∠ACB=36°，∴∠AOB=72°．
又∵OB=

1

2

BC=5，
∴

AB

的長為：l=

nπR

180

=

72×π×5

180

=2π．

（2）證明：連接AB，
∵點A是

BP

的中點，
∴

BA

=

AP

．
∴∠C=∠ABP．
∵BC為⊙O的直徑，
∴∠BAC=90°，即∠BAD+∠CAD=90°，
又∵AD⊥BC，
∴∠C+∠CAD=90°，
∴∠BAD=∠C，
∴∠ABP=∠BAD，
∴AE=BE．

點評：本題主要考查了弧長公式和等弧所對的圓周角相等的性質(zhì)．